Halaman
i
iiHak Cipta pada Departemen Pendidikan Nasionaldilindungi Undang-undangPenulis: Dra. Dame Rosida ManikEditor: Marita MelaniTata Letak: Miki_FerrisPerancang Cover: Febri MulyantoIlustrator: ArgoUkuran Buku: 17,5 x 25 cmPenunjang BelajarUntuk SMP/MTs Kelas 7MATEMATIKA510.07DAMDAME Rosida ManikpPenunjang Belajar : Matematika : Untuk SMP dan MTs Kelas 7 /penulis,Dame Rosida Manik : editor Marita Melani ; illustrator Argo. — Jakarta : Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional, 2009.xi, 292 hlm. : ilus. ; 25 cm.Bibliografi : hlm. 286IndeksISBN 978-979-068-888-31. Matematika-Studi dan PengajaranI. JudulII. Marita Melani III. ArgoHak Cipta Buku ini dibeli oleh Departemen Pendidikan Nasionaldari Penerbit CV. Sari Ilmu PratamaDiterbitkan oleh Pusat PerbukuanDepartemen Pendidikan Nasional Tahun 2009Diperbanyak oleh ....
iiiKATA SAMBUTANPuji syukur kami panjatkan ke hadirat Allah SWT, berkat rahmat dan karunia-Nya,Pemerintah, dalam hal ini, Departemen Pendidikan Nasional, pada tahun 2009, telah membelihak cipta buku teks pelajaran ini dari penulis/penerbit untuk disebarluaskan kepada masyarakatmelalui situs internet (website) Jaringan Pendidikan Nasional.Buku teks pelajaran ini telah dinilai oleh Badan Standar Nasional Pendidikan dan telahditetapkan sebagai buku teks pelajaran yang memenuhi syarat kelayakan untuk digunakan dalamproses pembelajaran melalui Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Nomor 81 Tahun 2008.Kami menyampaikan penghargaan yang setinggi-tingginya kepada para penulis/penerbityang telah berkenan mengalihkan hak cipta karyanya kepada Departemen Pendidikan Nasionaluntuk digunakan secara luas oleh para siswa dan guru di seluruh Indonesia.Buku-buku teks pelajaran yang telah dialihkan hak ciptanya kepada DepartemenPendidikan Nasional ini, dapat diunduh (down load), digandakan, dicetak, dialihmediakan, ataudifotokopi oleh masyarakat. Namun, untuk penggandaan yang bersifat komersial hargapenjualannya harus memenuhi ketentuan yang ditetapkan oleh Pemerintah. Diharapkan bahwabuku teks pelajaran ini akan lebih mudah diakses sehingga siswa dan guru di seluruh Indonesiamaupun sekolah Indonesia yang berada di luar negeri dapat memanfaatkan sumber belajar ini.Kami berharap, semua pihak dapat mendukung kebijakan ini. Kepada para siswa kamiucapkan selamat belajar dan manfaatkanlah buku ini sebaik-baiknya. Kami menyadari bahwabuku ini masih perlu ditingkatkan mutunya. Oleh karena itu, saran dan kritik sangat kami harapkan.Jakarta, Juni 2009Kepala Pusat Perbukuan
ivKATA PENGANTARMata pelajaran matematika secara mendasar mempunyai tujuan agar peserta didik memilikikemampuan sebagai berikut.1.Memahami konsep matematika, menjelaskan keterkaitan antarkonsep dan mengaplikasikankonsep atau algoritma secara luwes, akurat, efisien, dan tepat dalam pemecahan masalah.2.Menggunakan penalaran pada pola dan sifat, melakukan manipulasi matematika dalammembuat generalisasi, menyusun bukti, atau menjelaskan gagasan dan pernyataanmatematika.3.Memecahkan masalah yang meliputi kemampuan memahami masalah, merancang modelmatematika, menyelesaikan model dan menafsirkan solusi yang diperoleh.4.Mengkomunikasikan gagasan dengan simbol, tabel, diagram, atau media lain untukmemperjelas keadaan atau masalah.5.Memiliki sikap menghargai kegunaan matematika dalam kehidupan, yaitu memiliki rasaingin tahu, perhatian, dan minat dalam mempelajari matematika, serta sikap ulet dan percayadiri dalam pemecahan masalah.Sebagai penunjang agar apa yang diharapkan dalam Standar Isi tercapai, maka Penulismenyusun buku Penunjang Belajar Matematika Untuk SMP/MTs Kelas VII berdasarkanStandar Isi.Buku Penunjang Belajar Matematika Untuk SMP/MTs Kelas VII ini memberikanpenjelasan teori secara rinci yang disajikan dengan bahasa yang sederhana, sehingga mudahdipahami. Selain itu, dalam buku ini juga diberikan latihan-latihan yang banyak dan bervariasiserta lengkap dengan gambar-gambar, grafik, dan tabel beserta penjelasan yang detail. Denganbantuan buku ini, siswa diharapkan makin memahami suatu teori tertentu dan termotivasi untukbelajar terus-menerus serta terlatih dalam memahami soal yang berkaitan dengan kehidupansehari-hari.Dalam menyusun buku ini, kami mengacu pada buku-buku matematika, baik terbitan dalamnegeri maupun buku terbitan luar negeri.Akhirnya, kami mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantudalam penyusunan buku ini. Kritik dan saran dari pembaca demi kesempurnaan buku ini akankami terima dengan hati terbuka. Semoga buku ini berguna bagi siswa maupun guru dalammeningkatkan mutu pendidikan di Indonesia. Jakarta, Mei 2008Penulis
vFaktorisasi Bentuk Aljabar1Pada zaman modern ini, dengan adanya kalkulator kita hampir tidak menemukan kesulitandalam menentukan hasil penjumlahan atau pengurangan bilangan-bilangan yang besar, misalnyapenjumlahan dari 258232 4atau pengurangan dari . Seandainya kalkulatortidak ada, apakah ada cara mudah untuk menyelesaikan soal-soal seperti di atas? Jawabannyaada, yaitu dengan menggunakan konsep faktorisasi bentuk aljabar. Perhatikanlah contoh-contohberikut:22222 582324582 58 24582 116458260360022 2735272527352725 2735272510 546054600Bagaimana, mudah bukan?TUJUAN PEMBELAJARANSetelah mempelajari bab ini, kamu diharapkan mampu:1. menyelesaikan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian danperpangkatan bentuk aljabar,2. menyelesaikan pembagian dengan suku sejenis atau tidak sejenis,3. menentukan faktor suku aljabar dan memfaktorkan bentuk aljabar,4. menyederhanakan pembagian suku,5. menyelesaikan perpangkatan konstanta, dan6. menggunakan konsep aljabar dalam pemecahan masalah sehari-hari. Variabel Faktorisasi KoefisienSuku Suku Tiga KonstantaSuku Satu Kuadrat Sempurna Faktor PersekutuanSuku DuaSegitiga Pascal1FAKTORISASI BENTUKALJABARJudul bab. Setiap awal pembahasanmateri terdapat urutan dan judul bab.Tujuan Pembelajaran berisi point-pointyang diharapkan dicapai oleh siswaPETUNJUK PENGPETUNJUK PENGPETUNJUK PENGPETUNJUK PENGPETUNJUK PENGGUNGUNGUNGUNGUNAAN BAAN BAAN BAAN BAAN BUKUUKUUKUUKUUKU2Penunjang Belajar MATEMATIKA Untuk SMP/MTs Kelas 8Demikian juga halnya dalam keseharian kita, banyak permasalahan yang dapat diselesaikandengan menggunakan konsep aljabar. Misalnya seorang tukang akan membangun sebuah rumahberbentuk balok, ia menyiapkan bata berukuran panjang x meter, lebar y meter, dan tinggi tmeter. Berapa kilometer persegi luas permukaan bangunan yang terbentuk?Pada bab ini, kamu akan mempelajari operasi aljabar yang merupakan lanjutan dari operasialjabar yang telah kamu pelajari di kelas VII dan di akhir bab kamu akan mempelajari lebihlanjut tentang penggunaan konsep aljabar dalam pemecahan suatu masalah.A. PENGERTIAN SUKU DALAM BENTUK ALJABAR1. Suku Tunggal dan Suku BanyakPerhatikanlah bentuk-bentuk berikut ini:2223210 , 2, 5 7, 5 2, 3 2 8, 2 5 3, dan 2410xpq paabxyxxxxxBentuk-bentuk di atas disebut bentuk aljabar. Bentuk aljabar pertama dan kedua disebutbentuk aljabar suku satu atau suku tunggal (monomial), bentuk aljabar ketiga dan keempatdisebut bentuk aljabar suku dua (binomial) dan bentuk aljabar kelima dan keenam disebut bentukaljabar suku tiga (trinomial). Bentuk aljabar yang terdiri dari beberapa suku disebut suku banyak(polinom), misalnya:2. Suku-suku SejenisPendahuluan tiab bab agar siswamendapat gambaran materi yang akandibahas di dalam bab ini dan jugaketerangan yang ada pada gambar.Latihan setelah pembahasan materidalam subbab atau subsubbab selesai.Faktorisasi Bentuk Aljabar25Latihan 1.15Selesaikanlah soal-soal berikut:1.Tentukanlah sebuah bilangan yang jika dikalikan 9 kemudian hasilnya dibagi 4 lalu ditambah6 maka hasil akhirnya 3 kali dari bilangan semula.2.Seorang ibu berusia 24 tahun lebih tua dari anaknya yang bungsu. Tentukan usia si bungsupada saat usianya usia ibu.3.Seorang peternak mempunyai itik dan ayam. Jumlah ayam peternak tersebut dua setengahkali jumlah itik. Harga seekor itik Rp. 35.000,00 dan harga seekor ayam Rp. 40.000,00.Harga total ituk dan ayam adalah Rp. 4.050.000,00. Tentukanlah jumlah masing-masingitik dan ayam.Kata Kunci berisi istilah-istilahpenting yang digunakan padamasing-masing babSubbab yaitu urutan materiyang akan dibahas
viDAFTAR ISIKata Sambutan .............................................................................................................iiiKata Pengantar...............................................................................................................ivPetunjuk Penggunaan Buku ............................................................................................vDaftar Isi .........................................................................................................................viDaftar Simbol ..................................................................................................................xiBAB 1 Bilangan Bulat ..............................................................................................1A. Bilangan Bulat .........................................................................................................21.Bilangan Bulat Positif dan Bilangan Bulat Negatif ...........................................22.Membandingkan dan Mengurutkan Bilangan Bulat ..........................................3B. Operasi Hitung Bilangan Bulat ................................................................................61.Penjumlahan.....................................................................................................62.Pengurangan pada Bilangan Bulat ...................................................................93.Perkalian pada Bilangan Bulat .........................................................................114.Pembagian pada Bilangan Bulat .......................................................................135.Perpangkatan Bilangan Bulat ...........................................................................16C. Kuadrat dan Akar Kuadrat Suatu Bilangan Bulat ...................................................191.Kuadrat Bilangan Bulat ....................................................................................192.Akar Kuadrat Suatu Bilangan Bulat .................................................................193.Menentukan Akar Kuadrat suatu Bilangan ......................................................20D. Pangkat Tiga dan Akar Pangkat Tiga Suatu Bilangan Bulat ...................................211.Pangkat Tiga .....................................................................................................212.Akar Pangkat Tiga Suatu Bilangan Bulat .........................................................213.Menentukan Akar Pangkat Tiga dari Suatu Bilangan Bulat .............................22E. Penerapan Konsep Bilangan Bulat pada Pemecahan Masalah ..............................24F.Bilangan Pecahan ....................................................................................................241.Pengertian Bilangan Pecahan ...........................................................................242.Pecahan Biasa atau Sederhana dan Pecahan Campuran ................................263.Mengubah Bilangan Pecahan Campuran ke Pecahan Biasa ...........................274.Mengubah Bilangan Pecahan Biasa ke Pecahan Campuran ...........................285.Pecahan Senilai ................................................................................................306.Mengurutkan Bilangan Pecahan ......................................................................337.Mencari Pecahan yang Terletak di Antara Dua Pecahan ................................34G. Operasi Hitung Bilangan Pecahan ...........................................................................341.Penjumlahan.....................................................................................................342.Pengurangan Bilangan Pecahan .......................................................................363.Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Pecahan Campuran .........................374.Perkalian Bilangan Pecahan .............................................................................395.Pembagian Bilangan Pecahan ..........................................................................406.Perpangkatan Bilangan Pecahan ......................................................................43
viiH. Mengenal Bilangan Desimal ....................................................................................441.Mengubah Pecahan Biasa Menjadi Bilangan Desimal .....................................452.Mengubah Pecahan Campuran Menjadi Pecahan Desimal .............................463.Mengubah Pecahan Desimal Menjadi Pecahan Biasa atau Pecahan Campur-an ......................................................................................................................464.Bentuk Pecahan Persen dan Permil .................................................................48I.Operasi Hitung Pecahan Desimal ...........................................................................511.Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan Desimal ...........................................512.Perkalian dan Pembagian Pecahan Desimal ....................................................52J.Pembulatan Pecahan Desimal .................................................................................56K. Bentuk Baku ............................................................................................................57L. Penerapan Bilangan Pecahan dalam Pemecahan Masalah ....................................58Ringkasan .......................................................................................................................60Glosarium ........................................................................................................................63Latihan Pemahaman Bab 1 ............................................................................................66BAB 2 Operasi Aljabar .............................................................................................6 9A. Bentuk Aljabar .........................................................................................................70B. Operasi Hitung Bentuk Aljabar ................................................................................711.Penjumlahan dan Pengurangan ........................................................................722.Perkalian dan Pembagian Suku Sejenis dan Tidak Sejenis ...............................743.Perpangkatan Suku Sejenis dan Tidak Sejenis .................................................754.Sifat Perkalian Bentuk Aljabar dan Penerapannya ..........................................765.Perkalian Istimewa ...........................................................................................77C. Operasi Bentuk Pecahan Aljabar ............................................................................791.Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan Aljabar .............................................792.Perkalian dan Pembagian Pecahan Bentuk Pecahan Aljabar ..........................803.Menyederhanakan Hasil Operasi Pecahan Aljabar ..........................................83D. Penerapan Konsep Aljabar dalam Pemecahan Masalah .........................................85Ringkasan .......................................................................................................................87Glosarium ........................................................................................................................88Latihan Pemahaman Bab 2 ............................................................................................89BAB 3 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel(PLSV dan PTLSV) .....................................................................................9 1A. Persamaan......................................................................................................911.Kalimat Matematika (Pernyataan) ...................................................................912.Kalimat Terbuka ...............................................................................................92B. Persamaan Linear Satu Variabel (PLSV) .................................................................941.Pengertian Persamaan Linear Satu Variabel .....................................................942.Sifat-Sifat PLSV ...............................................................................................943.Penyelesaian dan Bukan Penyelesaian .............................................................944.Penerapan PLSV dalam Kehidupan Sehari-hari ..............................................98
viiiC. Pertidaksamaan Linear Satu Variabel (PTLSV) ..................................................... 1011.Pengertian PTLSV ........................................................................................... 1022.Sifat-Sifat PTLSV ............................................................................................ 1033.Menyelesaikan PTLSV .................................................................................... 1034.Menggambar Grafik Penyelesaian PTLSV ...................................................... 1095.Penerapan Pertidaksamaan dalam Kehidupan Sehari-hari ..............................111Ringkasan .......................................................................................................................112Glosarium ........................................................................................................................ 113Latihan Pemahaman Bab 3 ............................................................................................ 114BAB 4 Aritmetika Sosial .......................................................................................... 117A. Nilai Keseluruhan, Nilai Per Unit, dan Nilai Sebagian ............................................. 118B. Harga Penjualan, Harga Pembelian, Untung, dan Rugi ........................................... 119C. Diskon, Bruto, Neto, dan Tara ................................................................................. 1241.Diskon (Rabat) ................................................................................................. 1242.Bruto, Neto, dan Tara ....................................................................................... 124D. Pajak........................................................................................................................126E. Bunga Tunggal......................................................................................................... 128Ringkasan ....................................................................................................................... 130Glosarium ........................................................................................................................ 131Latihan Pemahaman Bab 4 ............................................................................................ 132Uji Kemampuan Semester I ....................................................................................... 135BAB 5 Perbandingan ................................................................................................ 139A. Gambar Berskala ..................................................................................................... 1401.Pengertian ......................................................................................................... 1402.Gambar atau Model Berskala ........................................................................... 142B. Perbandingan ........................................................................................................... 1441.Arti Perbandingan ............................................................................................. 1442.Sifat-Sifat Perbandingan ................................................................................... 1453.Perbandingan Seharga (Senilai) ........................................................................ 1464.Perbandingan Berbalik Harga .......................................................................... 1475.Grafik Perbandingan Seharga dan Berbalik Harga .......................................... 150Ringkasan ....................................................................................................................... 153Glosarium ........................................................................................................................ 153Latihan Pemahaman Bab 5 ............................................................................................ 154BAB 6 Himpunan...................................................................................................... 157A. Himpunan dan Anggota Himpunan .......................................................................... 1581.Pengertian Himpunan ....................................................................................... 1582.Mengenal Beberapa Himpunan Bilangan ......................................................... 1603.Himpunan Berhingga dan Himpunan Tak Berhingga ....................................... 161B. Cara Menyatakan Himpunan ................................................................................... 162C. Himpunan Semesta, Diagram Venn, dan Himpunan Bagian ................................... 164
ix1.Himpunan Semesta ........................................................................................... 1642.Diagram Venn ................................................................................................... 1653.Himpunan Bagian, Himpunan Kosong, dan Himpunan Ekuivalen .................... 166D. Operasi Himpunan ................................................................................................... 1721.Irisan Dua Himpunan ....................................................................................... 1722.Gabungan Dua Himpunan ................................................................................ 1763.Penerapan Konsep Himpunan dan Penggunaan Diagram Venn untuk IrisanDua Gabungan .................................................................................................. 1784.Selisih Dua Himpunan ...................................................................................... 1805.Sifat-Sifat Operasi pada Himpunan .................................................................. 1816.Himpunan Komplemen..................................................................................... 183Ringkasan ....................................................................................................................... 185Glosarium ........................................................................................................................ 186Latihan Pemahaman Bab 6 ............................................................................................ 187BAB 7 Garis dan Sudut ............................................................................................. 191A. Garis ........................................................................................................................1921.Pengertian Garis Lurus dan Garis Lengkung ................................................... 1922.Kedudukan Dua Garis ...................................................................................... 1933.Sifat-sifat Garis Sejajar ..................................................................................... 197B. Sudut........................................................................................................................ 1991.Pengertian Sudut .............................................................................................. 1992.Sudut Siku-Siku................................................................................................. 2003.Sudut Lurus ...................................................................................................... 2014.Satuan Sudut ..................................................................................................... 2015.Nama Sudut ...................................................................................................... 2066.Mengukur Sudut dengan Busur Derajat ........................................................... 2067.Mengenal Jenis Sudut ....................................................................................... 2088.Menggambar Sudut dengan Busur Derajat ...................................................... 210C. Hubungan Antarsudut .............................................................................................. 2111.Sudut Saling Berpelurus.................................................................................... 2112.Sudut yang Saling Berpenyiku .......................................................................... 2123.Sudut Bertolak Belakang .................................................................................. 213D. Sifat Sudut yang Terjadi Apabila Dua garis Sejajar Dipotong oleh Garis Ketiga(Garis Lain) ............................................................................................................. 216E. Perbandingan Segmen Garis .................................................................................... 2201.Membagi Ruas Garis Menjadi n Bagian Sama Panjang ................................... 2202.Menghitung Panjang Segmen Garis ................................................................. 222F.Melukis Sudut ......................................................................................................... 2241.Melukis Sudut yang Besarnya Sama dengan yang Diketahui .......................... 2242.Membagi Sudut Menjadi Dua Sama Besar ...................................................... 2243.Melukis Sudut-Sudut Istimewa ........................................................................ 2254.Melukis Sudut 60o, 45o, dan 30o....................................................................... 225Ringkasan ....................................................................................................................... 227
xGlosarium ........................................................................................................................ 229Latihan Pemahaman Bab 7 ............................................................................................ 230BAB 8 Segitiga dan Segiempat ............................................................................... 233A. Segitiga.................................................................................................................... 2341.Jenis-jenis Segitiga ............................................................................................ 2342.Jumlah Sudut-Sudut Segitiga ............................................................................ 2393.Sifat-Sifat Segitiga ............................................................................................ 2414.Keliling dan Luas Daerah Segitiga ................................................................... 2445.Melukis Segitiga................................................................................................ 248B. Persegi Panjang ....................................................................................................... 2531.Sifat-Sifat Persegi Panjang ............................................................................... 2542.Pengertian Persegi Panjang .............................................................................. 2553.Keliling dan Luas Persegi Panjang ................................................................... 256C. Persegi ..................................................................................................................... 2571.Sifat-Sifat Persegi ............................................................................................. 2572.Pengertian Persegi ........................................................................................... 259D. Jajar Genjang ........................................................................................................... 2611.Sifat-Sifat Jajar Genjang ................................................................................... 2612.Pengertian Jajar Genjang .................................................................................. 2623.Keliling dan Luas Jajar Genjang ....................................................................... 263E. Belah Ketupat .......................................................................................................... 2651.Sifat-Sifat Belah Ketupat ................................................................................. 2652.Pengertian Belah Ketupat ................................................................................ 2653.Keliling dan Luas Belah Ketupat ...................................................................... 266F.Layang-Layang ........................................................................................................ 2681.Sifat-Sifat Layang-Layang ............................................................................... 2682.Keliling dan Luas Daerah Layang-Layang ...................................................... 269G. Trapesium ................................................................................................................ 2711.Jenis-Jenis Trapesium ....................................................................................... 2712.Sifat-Sifat Trapesium ........................................................................................ 2723.Keliling dan Luas Trapesium ............................................................................ 273Ringkasan ....................................................................................................................... 275Glosarium ........................................................................................................................ 278Latihan Pemahaman Bab 8 ............................................................................................ 280Uji Kemampuan Semester II ..................................................................................... 283Daftar Pustaka .................................................................................................................286Index ............................................................................................................................... 287
DAFTAR SIMBOL Notasi KeteranganJumlah; tambah; menambah, positif Kurang; mengurang; negatif Kali; mengali; penyilangan: Bagi; membagi Sama dengan Tidak sama dengan a dibagi b; pembagian a pangkat n Kurung biasa Kurung sikuKurung kurawal; menyatakan himpunan; akoladeElemen dari; anggota dariBukan elemen dari; bukan anggota dari Gabungan Irisan; perpotongan Himpunan bagianABA memuat B Bukan himpunan bagian Lebih dari Kurang dariLebih dari atau sama denganKurang dari atau sama dengan, Himpunan kosongHimpunan yang beranggotakan a Segitiga Tegak lurus Derajat Siku-siku Sejajar Sudut Garis AB Ruas garis ABEkuivalen, jika dan hanya jika Persen Permil Pendekatan atau kira-kiraAkar pangkat dua Akar pangkat nxi
Bilangan Bulat1TUJUAN PEMBELAJARANSetelah mempelajari bab ini, kamu diharapkan mampu:1. menyatakan suatu besaran sehari-hari dengan bilangan bulat,2. dapat menentukan letak bilangan bulat pada garis bilangan,3. dapat menyelesaikan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian,pembagian bilangan bulat, dan perpangkatan bilangan bulat,4. menggunakan konsep bilangan berpangkat untuk menyelesaikan masalah,5. mengubah suatu bentuk pecahan ke bentu pecahan lain,6. mengurutkan pecahan dan membandingkannya,7. mengoperasikan bilangan pecahan (penjumlahan, pengurangan, perkalian,dan pembagian),8. menuliskan suatu bilangan dalam bentuk baku (notasi ilmiah), dan9. menerapkan konsep bilangan pecahan dalam pemecahan masalah.Seorang ibu ingin membagi harta warisannya berupa uang sebesar Rp. 25.000.000,00kepada ketiga anaknya, dua orang putra dan satu orang putri. Ia memberikan uang sebesar Rp.7.000.000,00 kepada putranya yang sudah menikah, sedangkan sisanya diberikan kepada keduaanaknya yang belum menikah dengan ketentuan sebagai berikut: putrinya mendapatkan setengahdari putranya. Dapatkah kalian menghitung berapa rupiah uang yang diterima putrinya?i Bilangan negatifi Identitas perkaliani Bilangan positifiInvers perkaliani Bilangan bulatiBasis/bilangan pokoki Sifat komutatifi Eksponeni Asosiatifi Pecahani Distributifi Pembilangi Identitas penjumlahani Penyebuti Invers penjumlahani Pecahan murnii Pecahan tidak murnii Pecahan campuraniPecahan desimali Pecahan senilaii Perseni Permili Pembulatani Bentuk baku (Notasi ilmiah)BILANGAN BULAT1
Penunjang Belajar MATEMATIKA untuk SMP/MTs Kelas 72A. BILANGAN BULATSebelum kita membicarakan tentang bilangan bulat, perhatikan terlebih dahulu strukturbilangan berikut:Dari struktur bilangan pada Gambar 1.1, bilangan yang akan kita pelajari pada bab iniadalah bilangan bulat.1. Bilangan Bulat Positif dan Bilangan Bulat NegatifSelama bulan Januari suhu tertinggi di kota Berlin, Jerman 2o C di atas titik beku (0o C) dansuhu terendah 3o C di bawah titik beku. Bilangan apakah yang digunakan untuk kondisi cuacaseperti di atas? Cukupkah bilangan asli atau bilangan cacah untuk menyatakan kondisi suhutersebut? Perhatikanlah uraian berikut ini.Untuk suhu 2o C di atas titik beku (0o C) biasa ditulis +2o C atau 2o C, sedangkan untuk suhu3o C di bawah titik beku (0o C) biasa ditulis –3o C. Bilangan +2 dan –3 adalah contoh bilanganbulat dan berturut-turut disebut bilangan bulat positif dan bilangan bulat negatif (+2 dibacapositif 2 dan –3 dibaca negatif 3).Bilangan KomplekRealImajinerRasionalIrasionalBulatPecahanCacahBulat NegatifAsliNolSatuPrimaKompositGambar 1.1 Struktur bilangan
Bilangan Bulat3Bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat positif, nol, dan bilangan bulat negatif. Himpunanbilangan bulat biasanya dilambangkan dengan huruf B dan dituliskan dengan^`...,3,2,1,0,1,2,3,...B .Bilangan bulat dapat juga digambarkan pada garis bilangan. Perhatikan gambar garis bilanganpada diagram berikut ini.Contoh 1.1Tuliskanlah:a.Himpunan bilangan bulat di antara –8 dan 4!b.Himpunan bilangan genap di antara –6 dan 3!c.Himpunan bilangan ganjil di antara –5 dan 2!Penyelesaian:a.0123-5-1-2-3-4-6-7Himpunan bilangan bulat di antara –8 dan 4 adalah {–7, –6, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3}b.012-5-1-2-3-4Himpunan bilangan bulat genap di antara –6 dan 3 adalah {–4, –2, 0, 2}.c.01-1-2-3-4Himpunan bilangan bulat ganjil di antara –5 dan 2 adalah {–3, –1, 1}.2. Membandingkan dan Mengurutkan Bilangan BulatPada garis bilangan berlaku:1.Jika a terletak di sebelah kanan b, maka a > b.2.Jika a terletak di sebelah kiri b, maka a < b.Misalkan: 7 berada di sebelah kanan 5, maka 7 > 5 –5 berada di sebelah kiri –3 maka –5 < –3.Bilangan bulat negatifBilangan bulat positif(lawan bilangan asli)(bilangan asli)Gambar 1.2 Garis bilangan himpunan bilangan bulatNol01234-1-2-3-4
Penunjang Belajar MATEMATIKA untuk SMP/MTs Kelas 74Contoh 1.21.a. 15o C di atas titik bekuc. 100 m di bawah permukaan lautb. 6o C di bawah titik bekud. 200 m di atas permukaan laut.Pernyataan-pernyataan di atas dapat dituliskan menjadi ... .Penyelesaian:a. 15o Cc.–100 mb. –6o Cd.200 m2.Apakah artinya jika dituliskan:a. –13oCc.–150 mb. 28oCd.250 mPenyelesaian:a. –13o C artinya 13o C di bawah titik beku (0o C)b. 28o C artinya 28o C di atas titik beku (0o C)c. 150 m di bawah permukaan lautd. 250 m di atas permukaan laut3.Antara –5o C dan –3o C, manakah suhu yang lebih tinggi?Perhatikan gambar garis bilangan berikut.Penyelesaian:012-5-1-2-3-4Dari gambar di atas terlihat bahwa –3 berada di sebelah kanan –5. Jadi, –3oC lebih tinggidari –5oC.4.Dalam ujian matematika ditetapkan aturan sebagai berikut: siswa yang dapat mengerjakansoal dengan benar diberi skor 4, yang tidak menjawab diberi skor 0, dan siswa yangmenjawab tetapi salah diberi skor –1. Perhatikan tabel berikut:Nama SiswaSkorAndi–6Anna–4Beny–1Citra0Dany4Urutkan total skor siswa dari yang terkecil sampai yang terbesar.Penyelesaian:Total skor di atas termasuk bilangan bulat. Salah satu cara untuk mengurutkan bilangan iniadalah dengan menggunakan garis bilangan.0123-5-1-2-3-4-6-74Bilangan yang terletak di sebelah kiri bernilai kurang dari bilangan yang terletak di sebelahkanannya. Dengan demikian, urutan total skor siswa dari yang terkecil sampai yang terbesaradalah –6, –4, –1, 0, 4.
Bilangan Bulat5LATIHAN 1.11.Bagaimanakah menuliskan:a. 6o C di bawah titik beku (0o C)?b.6o C di atas titik beku (0o C)?2.a.Apakah arti dari penulisan temperatur berikut?1.–12o C3.0o C2.18o C4.10o C di bawah titik bekub.Manakah yang bersuhu lebih tinggi?1.4o C atau 5o C2.–10o C atau –5o C3.Temperatur (suhu) ruangan pada siang hari adalah 25 C$. Berapa derajatkah suhu ruanganitu jika:a.suhu naik 3o Cb.suhu turun 5o C4.Sisipkanlah lambang > atau < di antara pasangan bilangan berikut agar menjadi kalimatyang benara.–3 dan 1,e.145 dan 154b.0 dan –3f.–105 dan 89c.–4 dan –6g.–211, –238, dan –240d.5 dan 65.Jika huruf A, B, C, D, ... yang berurutan diletakkan pada garis bilangan bulat sedemikiansehingga huruf P terletak pada titik nol, maka posisi dari huruf-huruf berikut adalah ... .a.Bc.Ne.Zb.Kd.R6.Susunlah barisan bilangan berikut mulai dari yang terbesar!a.24, 60, 31, –28, –10, 0c.–100, 105, –210, 25, –80b.–45, –70, –75, –3, 1, 0d.–36, 100, –78,–1417.Susunlah barisan bilangan pada soal nomor 6 mulai dari yang terkecil!8.Tuliskanlah semua bilangan bulat x yang memenuhi:a.120< u <125d.0 < u < 4b.8< u <15e.–15< u <–10c.–5< u <59.a.Jika +15 km berarti 15 km di sebelah timur Kota A, maka arti dari –15 km adalah ... .b.Jika +10 Newton berarti gaya sebesar 10 Newton ke kanan. Apakah artinya dengangaya –10 Newton?c.Jika +20 meter per detik berarti kecepatan 20 meter per detik ke atas, maka kecepatan–20 meter per detik berarti ... .
Penunjang Belajar MATEMATIKA untuk SMP/MTs Kelas 76B. OPERASI HITUNG BILANGAN BULAT1. PenjumlahanPenjumlahan pada bilangan bulat dapat diselesaikan dengan menggunakan garis bilangan.Pada garis bilangan telah disepakati bahwa arah bilangan bulat positif ke kanan dan arah bilanganbulat negatif ke kiri. Agar lebih jelas perhatikan contoh berikut ini:Contoh 1.31.Hitunglah penjumlahan:a.4 dan 5b.5 dan (–2).Penyelesaian:a. Dari nol sebagai titik pangkal, kita melangkah 4 satuan ke kanan, dilanjutkan dengan 5satuan ke kanan. Hasil penjumlahannya adalah jarak dari titik nol ke posisi terakhir,yaitu 9.6789154320-1+ 4+ 54 + 5 = 9Jadi 4 + 5 = 9b. Dari titik nol kita melangkah 5 satuan ke kanan, kemudian melangkah 2 satuan ke kiri.Hasil penjumlahannya adalah 3.6154320-1+ 5- 25(2) 3+- =Jadi, 5 + (–2) = 32.Hitunglah penjumlahan –3 dan –4:Penyelesaian:01-5-1-2-3-4-6-7- 3- 43(4) 7-+- =-Jadi, (–3) + (–4) = –7.
Bilangan Bulat7Sifat-sifat penjumlahan pada bilangan bulat:1.Sifat tertutupPerhatikan contoh di bawah ini:a.2 + 9 = 1 o 2 dan 9 adalah bilangan bulat.Hasil penjumlahannya 11, juga bilangan bulat.b.(–11) + (–9) = –20 o –11 dan –9 adalah bilangan bulatHasil penjumlahannya –20, juga bilangan bulat.c.–12 + 25 = 13 o –12 dan 25 adalah bilangan bulat.Hasil penjumlahannya 13, juga bilangan bulat.Berdasarkan contoh-contoh di atas dapat disimpulkan bahwa penjumlahan dua buahbilangan bulat atau lebih akan selalu menghasilkan bilangan bulat juga.Sifat ini disebut tertutup terhadap penjumlahan bilangan bulat.2.Sifat komutatif (pertukaran)Perhatikan beberapa contoh berikut:a.5 + 7 = 127 + 5 = 12Jadi, 5 + 7 = 7 + 5b.10 + (–5) = 5(–5) + 10 = 5Jadi, 10 + (–5) = (–5) + 10c.–4 + (–5) = –9(–5) + (–4) = –9Jadi, –4 + (–5) = –5 + (–4)Dari contoh-contoh di atas dapat disimpulkan bahwaSifat ini disebut komutatif(pertukaran) terhadap penjumlahan bilangan bulat.Bilangan positif + bilangan positif = bilangan positif.Bilangan negatif + bilangan negatif = bilangan negatif.Bilangan positif + bilangan negatif = bilangan positif atau negatif.Jika bilangan positif > bilangan negatif hasilnya bilangan positif.Jika bilangan positif < bilangan negatif hasilnya bilangan negatif.Untuk setiap bilangan bulat a dan b, jika a + b = c, maka c juga bilangan bulat.untuk setiap bilangan bulat a dan b, selalu berlaku a + b = b + a.
Penunjang Belajar MATEMATIKA untuk SMP/MTs Kelas 783.Sifat asosiatif (pengelompokan) terhadap penjumlahan bilangan bulat.Perhatikan contoh-contoh berikut ini:a.(–5 + 7) + 8 = 2 + 8 = 10–5 + (7 + 8) = –5 + 15 = 10Jadi, (–5 + 7) + 8 = –5 + (7 + 8)b.{7 + (–2)} + 6 = 5 + 6 = 117 + {(–2) + 6} = 7 + 4 = 11Jadi, {7 + (–2)} + 6 = 7 + {(–2) + 6}c.{–3 + (–6)} + (–5) = –9 + (–5) = –14–3 + {(–6)} + (–5) = –3 + {(–6) + (–5)}Jadi, {–3 + –6)} + (–5) = –3 + {(–6) + (–5)}Berdasarkan contoh-contoh di atas dapat disimpulkan bahwaSifat ini disebut asosiatif terhadap penjumlahan bilangan bulat.4.Unsur identitas penjumlahanPerhatikan contoh-contoh berikut:a.2 + 0 = 2c.–10 + 0 = –10b.5 + 0 = 5d.0 + 2 = 2Dari contoh-contoh di atas dapat disimpulkan bahwa penjumlahan suatu bilangan dengannolatau sebaliknya akan menghasilkan bilangan itu sendiri. Nol disebut unsur identitaspenjumlahan.5.Invers/lawanSetiap bilangan bulat mempunyai invers atau lawan. Lawan dari suatu bulangan bulatadalah bilangan bulat lain yang letaknya pada garis bilangan berjarak sama dari titik nol,tetapi arahnya berlawanan dengan bilangan bulat semula.untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c selalu berlaku (a + b) + c = a + (b + c).untuk sebarang bilangan bulat a, selalu berlaku a + 0 = 0 + a = a.
Bilangan Bulat9Contoh 1.4Tulislah lawan dari 5.Penyelesaian:450123-5-1-2-3-4+ 5- 5Kita cari bilangan lain yang berjarak sama dari 0, tetapi arahnya berlawanan dengan 5. Bilanganitu adalah –5. Jadi, invers (lawan) dari 5 adalah –5. Secara umum dituliskan:2. Pengurangan pada Bilangan BulatPengurangan sebagai penjumlahan dengan lawan pengurangannya, misalnya:1.8 – 5 = 8 + (–5) = 3Jadi, 8 – 5 = 8 + (–5)2.–1 – 4 = –1 + (–4) = –53.9 – (–5) = 9 + 5 = 14Apakah sifat komutatif dan sifat asosiatif berlaku pada pengurangan?. Coba kalian selidiki.LATIHAN 1.21.Tentukanlah hasil penjumlahan bilangan-bilangan berikut ini.a.12 + 8 dan 8 + 12d.40 – 45 dan –45 + 40b.12 – 8 dan –8 + 12e.–18 + (–9) dan –9 + (–18)c.–15 + 11 dan 11 – 15Dengan memperhatikan hasil penjumlahan soal di atas, sifat penjumlahan manakah yangkamu peroleh?2.Dengan menggunakan garis bilangan, hitunglah hasil penjumlahan bilangan bulat berikut:a.5 + 3d.–5 + 9b.5 + (–2)e.–3 + (–5)c.6 + (–6)Lawan (invers) dari a adalah –a.Untuk setiap a dan bbilangan bulat berlaku:1.a – b = a + (–b)3.–a – (–b) = –a + b2.a –(–b) = a + b4.–a – b = –a + (–b)
Penunjang Belajar MATEMATIKA untuk SMP/MTs Kelas 7103.Tentukan pengganti x, agar kalimat matematika berikut benar.a.x + 8 = 12d.–9 + x = –8b.x + (–5) = 4e.7 + (–x) = –3c.6 + x = 13e.–x + (–3) = 54.Dengan menggunakan sifat asiatif selesaikan penjumlahan soal berikut:a.(–7 + 14) + (–12)b.{18 + (–14)} + (–10)c.15 + (–3 + 19)5.a.Salin dan lengkapilah tabel penjumlahan di bawah ini.b.Tuliskan pasangan bilangan yang jumlahnya 0.c.Tulis tiga penjumlahan yang menunjukkan sifat komutatif.6Hitunglah penjumlahan dan pengurangan berikut!a.8 – (–3)d.–4 – 4b.–5 – (–5)e.0 – 5c.5 + (–8) – 4f.4 – (–7) – (–3)7.Hitunglah pengurangan berikut ini!a.7 – 9 dan 9 – 7c.12 – (–5) dan –5 – 12b.–15 – 8 dan –8 – 15d.–35 – (–15) dan –15 – (–35)8.Lengkapilah tabel di bawah ini!abc a + b(a + b) + cb + ca + (b + c)83411157...5–96............–63–5............–3–710............–2–5–10............Bilangan KeduaBilangan Pertama+ –3–2–1 0 1 2 3–3–1–2–1–1–10–11–12–13
Bilangan Bulat11Dari penyelesaian di atas untuk a, b, dan c bilangan bulat.Apakah (a + b) + c = a + (b + c)? Jika ya, termasuk sifat apakah operasi matematikatersebut?9.Tentukanlah lawan atau invers jumlah dari setiap bilangan berikut!a.5c.18e.–25b.12d.–21f.15010. Salin dan lengkapilah setiap soal berikut ini!a.9 + ... = 0c.... + 8 = 0e.... + (–18) = 0b.13 + ... = 0d.–20 + ... = 03. Perkalian pada Bilangan BulatDi Sekolah Dasar, kalian telah mempelajari perkalian yang juga berarti penjumlahanberulang.Misalkan5 u 4 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 o atauaub= + ... sebanyak kalibbbbba a. Perkalian Bilangan Bulat Positif dan NegatifPerhatikanlah contoh-contoh berikut ini:1.1 u (–5) = –54.4 u (–5) = –202.2 u (–5) = –105.5 u (–5) = –253.3 u (–5) = –15Berdasarkan contoh-contoh di atas dapat disimpulkan bahwa hasil kali bilangan bulat positifdengan bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat negatif.b.Perkalian Dua Bilangan Bulat NegatifPerhatikanlah contoh-contoh berikut ini:1.3 u (–3) = –95.–1 u (–3) = 32.2 u (–3) = –66.–2 u (–3) = 63.1 u (–3) = –37.–3 u (–3) = 94.0 u (–3) = 0Dari contoh 5, 6, dan 7 di atas hasil kali dua bilangan bulat negatif adalah bilangan bulatpositif.Untuk setiap bilangan bulat a dan b selalu berlaku au (– b) = – (au b).Untuk setiap bilangan bulat a dan b selalu berlaku (– a) u (– b) = (aub).
Penunjang Belajar MATEMATIKA untuk SMP/MTs Kelas 712c.Perkalian Bilangan Bulat dengan Nol (0)Perhatikan perkalian berikut ini!1.5 u 0 = 03.0 u 2 = 02.–3 u 0 = 0Untuk semua bilangan apabila dikalikan dengan nol (0) hasilnya adalah nol.d. Unsur Identitas pada PerkalianSemua bilangan bulat bila dikalikan dengan 1 atau sebaliknya, akan menghasilkan bilanganitu sendiri. Dalam hal ini 1 disebut unsur identitas pada perkalian.Misalnya:1.10 u 1 = 103.–5 u 1 = –52.5 u 1 = 54.–3 u 1 = –3e.Sifat-Sifat Perkalian1. TertutupMisalnya: # 2 u 5 = 10, 2 dan 5 bilangan bulat, hasil kalinya 10 juga bilangan bulat.# –5 u 7 = –35, –5 dan 7 bilangan bulat, hasil kalinya –35 juga bilangan bulat.Jadi, dapat disimpulkan bahwa perkalian dua buah bilangan bulat atau lebih bersifat tertutupdan dirumuskan dengan:2. Komutatif (Pertukaran)Perhatikan operasi perkalian berikut ini:# 3 5 = 15 Jadi 3 5 = 5 3 = 15# 5 3 = 15uouuu½¾¿Secara umum dituliskanUntuk setiap bilangan bulat a selalu berlaku au 0 = 0 ua = 0.Untuk setiap bilangan bulat a selalu berlaku au 1 = 1 ua = a.untuk setiap bilangan bulat a dan b, jika aub = c, maka c juga bilangan bulat.untuk setiap bilangan bulat a dan b selalu berlaku aub = bua.
Bilangan Bulat133. Asosiatif (Pengelompokkan)Perhatikanlah contoh-contoh di bawah ini!a.{6 u (–5)} u (–2) = –30 u (–2) = 60b.6 u {–5 u (–2)} = 6 u 10 = 60Jadi, {6 u (–5)} u (–2) = 6 u {–5 u (–2)}Maka kesimpulannya adalah:4. DistributifPerhatikanlah contoh-contoh berikut ini!a. 5 u (6 – 2) = 5 u 4 = 20b.5 u (6 – 2) = (5 u 6) – (5 u 2) = 30 – 10 = 20c. 5 u (6 + 2) = 5 u 8 = 40d.5 u (6 + 2) = (5 u 6) + (5 u 2) = 30 + 10 = 40Dari contoh-contoh di atas dapat disimpulkan bahwa perkalian bilangan bulat mempunyaisifat distributif, sehingga dapat dirumuskan:4. Pembagian pada Bilangan BulatMisalkan ditentukan pu 8 = 48. Untuk mencari nilai p dapat dilakukan dengan dua carayaitu:a.Cara perkalian, yaitu dengan mencari suatu bilangan yang jika dikalikan dengan 8 hasilnya48 di mana bilangan itu adalah 6.b.Cara pembagian, yaitu dengan membagi 48 dengan 8, yang hasilnya adalah 6.Dengan demikian, membagi 48 dengan 8 sama artinya dengan mencari suatu bilangan yang jikadikalikan dengan 8 hasilnya sama dengan 48 yang berarti 48 : 8 = 6 6 u 8 = 48.Berdasarkan uraian di atas dapat disimpulkan bahwa: pembagian merupakan operasikebalikan dari perkalian, secara umum dapat dituliskan:untuk bilangan bulat a, b, dan c selalu berlaku (aub) uc = a (buc)Untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c berlaku1.au (b – c) = (aub) – (auc), distributif perkalian terhadap pengurangan.2.au (b + c) = (aub) + (auc), distributif perkalian terhadap penjumlahan.a : b = c b uc = a ; b z 0
Penunjang Belajar MATEMATIKA untuk SMP/MTs Kelas 714Bentuk a : b dapat juga ditulis: abContoh 1.51.30 : 5 = 6 sebab 5 u 6 = 302.16 : (–4) = –4 sebab –4 u (–4) = 163.–10 : 5 = –2 sebab 5 u (–2) = –104.–8 : (–2) = 4 sebab –2 u 4 = –8Dari contoh-contoh di atas dapat disimpulkan bahwa:1.hasil bagi dua bilangan bulat positif adalah bilangan positif,2.hasil bagi dua bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat positif,3.hasil bagi bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif atau sebaliknya adalah biangannegatif.a. Pembagian Bilangan Bulat dengan Nol (0).Misalkan 5 : 0 = p 0 up= 5Tidak ada satu pun pengganti p pada bilangan bulat yang memenuhi 0 up = 5, sehinggadapat disimpulkan bahwa:b.Pembagian Bilangan Bulat oleh Nol (0).Untuk pembagian 0 : 3 = n, adakah pengganti n yang memenuhi?Perhatikan uraian berikut:0 : 3 = n 3 un = 0Pengganti n yang memenuhi 3 un = 0, adalah 0.Jadi, kesimpulannya adalahTUGAS SISWAApakah pada pembagian bilangan bulat berlaku sifat tertutup dan sifat asosiatif? Coba kalianselidiki sendiri.Untuk setiap bilangan bulat a, a : 0 tidak terdefinisiUntuk setiap bilangan bulat a, berlaku 0 : a = 0
Bilangan Bulat15LATIHAN 1.31.a. Salin dan lengkapilah tabelperkalian di samping.b. Tentukan pasangan-pasangan bilangan yang hasilkalinya sama dengan satu.c. Tuliskan 3 buah perkalianyang menunjukkan sifatkomutatif.2.Hitunglah hasil perkalian bilangan bulat berikut!a. 5 u 6c.–8 u 7e.–18 u 0b.9 u (–5)d.–9 u (–7)f.12 u (–3)3.Hitunglah hasil perkalian berikut!a. 8 u (–6 u 4)c.(–8 u 4) u 9b.(–4 u 3) u (–7)d.–2 u {–6 u (–5)}4.Gunakan sifat distributif untuk menyelesaikan perkalian berikut!a. 5 u (6 + 4)c.–5 u (4 – 7)b.–8 u (10 + 3)d.9 u {–4 + (–7)}5.Selesaikanlah pembagian bilangan bulat berikut!a.15 : 3d.–48 : (–4)b.24 : (–6)e.125 : (–25)c.–36 : 9f.–156 : (–13)6.Sebuah partikel dilemparkan ke atas. Tinggi benda setelah t detik adalah h m, yangdirumuskan dengan h = 10t – 2t2. Hitunglah tinggi partikel itu setelah:a.1 detikc.3 detikb.2 detikd.5 detik7.Tentukan dua bilangan bulat yang jumlahnya –7 dan hasil perkaliannya 12.8.Suatu tes pilihan ganda yang terdiri dari 40 butir soal. Dalam penilaian tes tersebut dibuatsuatu aturan, yaitu jika menjawab benar nilainya 4, menjawab salah nilainya –1, dan tidakmenjawab nilainya 0. Tentukanlah jumlah nilai, apabila:a.30 benar dan 8 salah,c.10 benar dan 15 salahb.25 benar dan 12 salah,d.5 benar dan 28 salah9.Tentukan nilai n yang memenuhi persamaan berikut!a. 6 un = 48d.nu (–4) = 144b.–nu 6 = 72e.nu (–2) u (–7) = 84c.–13 un = –52Bilangan KeduaBilangan Pertama+–3–2–10123–3–1–2–1–1–10–11–12–13
Penunjang Belajar MATEMATIKA untuk SMP/MTs Kelas 7165. Perpangkatan Bilangan BulatPerpangkatan suatu bilangan merupakan perkalian berulang dari bilangan tersebut.a. Pangkat Positif Bilangan BulatPerhatikan perkalian berulang berikut.3 u 3; 5 u 5 u 5 u 5, (–2) u (–2) u (–2) u (–2) u (–2)Bentuk: 3 u 3ditulis 325 u 5 u 5 u 5ditulis 54(–2) u (–2) u (–2) u (–2) u (–2) ditulis (–2)5Bentuk 32 dibaca 3 pangkat 2 dengan 3 disebut bilangan pokok (bilangan dasar) dan 2disebut pangkat atau eksponen, sedangkan 32 disebut bilangan berpangkat dua.Secara umum, perkalian sebarang bilangan bulat a sebanyak n kali atau n faktor, yaituauauaua ... ua ditulis anatau = ... ; bilangan asli faktornaaaaannuuu udengan:adisebut bilangan pokok atau bilangan dasarndisebut pangkat atau eksponenandisebut bilangan berpangkat (dibaca apangkat n)Contoh 1.6Tentukan hasil pemangkatan bilangan-bilangan berikut:a.a3c.(–5)2e.(–3)3b.52d.–(5)2f.(–2)4Penyelesaian:a. 23 = 2 u 2 u 2 = 4 u 2 = 8b.52 = 5 u 5 = 25c.(–5)2 = –5 u (–5) = 25d.–(5)2 = –(5 u 5) = –25e.(–3)3 = –3 u (–3) u (–3) = 9 u (–3) = –27f.(–2)4 = –2 u –2 u –2 u –2 = 4 u 4 = 16Catatan:#(–5)2z –(5)2#Bilangan negatif dipangkatkan dengan pangkat ganjil hasilnya bilangan negatif (lihatcontoh 1c).#Bilangan negatif dipangkatkan dengan pangkat genap hasilnya bilangan positif (lihatcontoh 1f).
Bilangan Bulat17Contoh 1.7Dengan cara menuliskan faktor-faktornya, buktikan bahwa:a. 23u 25 = 28d.{(–3)3}2 = (–3)6b.(–3)2u (–3)4 = (–3)6e.8625 = 55c. (52)3 = 56f.523(2) = ( 2)(2)Penyelesaian:a. 23u 25= (2 u 2 u 2) u (2 u 2 u 2 u 2 u 2)=2 u 2 u 2 u 2 u 2 u 2 u 2 u 2 perkalian 8 faktor=28b.(–3)2u (–3)4= (–3) u (–3) u (–3) u (–3) u (–3) u (–3)= (–3)6c. (52)3= (5 u 5)3 = (5 u 5) u (5 u 5) u (5 u 5)=5 u 5 u 5 u 5 u 5 u 5=56d.{(3–3)3}2= (–3)3u (–3)3= (–3) u (–3) u (–3) u (–3) u (–3) u (–3)= (–3)6e.8525=5 5 5 5 5 5 5 55 5uuuuuuuu=5 u 5 u 5 u 5 u 5 u 5=56f.5(2)3(2)=2 (2) (2) (2) (2)2 ( 2) ( 2)u u u uu u= (–2)2Dari contoh di atas dapat kita lihat bahwa:#perkalian bilangan berpangkat yang bilangan pokoknya sama, maka pangkatnya dijumlahkan(lihat contoh a dan b),#pembagian bilangan berpangkat yang bilangan pokoknya sama, maka pangkatnyadikurangkan (lihat contoh e dan f),#suatu bilangan berpangkat jika dipangkatkan lagi, maka pangkatnya dikalikan (contoh cdan d).
Penunjang Belajar MATEMATIKA untuk SMP/MTs Kelas 718Pernyataan di atas dapat dirumuskan sebagai berikut:Untuk a, b bilangan bulat dan n, p, dan q bilangan bulat positif, berlaku:1.apuaq = ap+ q2.pqaa = ap q; p > q3.(ap)q = apxq4.(au b)n = anubnLATIHAN 1.41.Tuliskanlah bilangan pokok dan pangkat (eksponen) dari bilangan berpangkat berikut ini!a. 35c.m4e.–152b.53d.(–2)5f.p42.Nyatakanlah bilangan berpangkat berikut ini dalam bentuk perkalian berulang!a. 53c.(–3)5b.64d.(–2)43.Tuliskan perkalian berikut dalam bentuk pangkat!a. 8 u 8 u 8 u 8c.–1 u 12 u 12 u 12b.(–5) u (–5) u (–5)d.–1 u (–11) u (–11) u (–11)4.Dengan menggunakan sifat perpangkatan hitunglah!a. 32u 35d.(–2)3 u (–2)5b.53u 56e.(–3)3u (–3)5c.a10 ua9f.(–1)2u (–1)65.Dengan menggunakan sifat perpangkatan hitunglah!a. 89 : 82d.(–3)8 : (–3)3b.155 : 152e.(–5)7 : (–5)3c.p11 : p46.Hitunglah perpangkatan berikut ini:a. (32)4c.((–2)3)2b.(63)7d.((–1)3)57.Selesaikanlah operasi bilangan bulat berikut ini!a.(3 u 5)3c.(2 u 3)6e.(–3 u –2)5b.(3 u 4)4d.(mun)5f.(–5 u 2)38.Sederhanakanlah bentuk berikut ini!a. (32u 54)2d.(54u 64) : (52u 63)b.(46u 93)2e.(62u 52) : 6c. (73u 95)6f.(36u 55) : (33u 52)2
Bilangan Bulat19C. KUADRAT DAN AKAR KUADRAT SUATU BILANGAN BULAT1. Kuadrat Bilangan BulatKuadrat bilangan bulat adalah suatu bilangan yang diperoleh dari hasil perkalian suatubilangan bulat dengan dirinya sendiri sebanyak 2 kali.Nilai kuadrat suatu bilangan bulat dapat diperoleh dengan cara menghitung, denganmenggunakan kalkulator, dan dengan menggunakan tabel kuadrat.2. Akar Kuadrat Suatu Bilangan BulatKalian telah mengetahui bahwa 52 = 25, artinya bilangan 25 diperoleh dari 5 dipangkatkan2 atau 5 dikuadratkan. Pertanyaannya adalah bagaimana cara menentukan bilangan 5 dari25?. Caranya adalah dengan melakukan operasi akar kuadrat dari 25 yang dituliskan dengan25 (dibaca akar kuadrat dari 25 atau akar pangkat dua dari 25). Penulisan 2 cukup ditulisdengan lambang "".Perhatikanlah contoh-contoh berikut ini:24 = 16 16 = 426 = 36 36 = 629 = 81 81 = 927 = 49 49 = 7Dari contoh-contoh di atas dapat disimpulkan bahwa operasi akar kuadrat merupakankebalikan dari operasi kuadrat.Perhatikanlah soal berikut:Diketahui a2 = 25, dalam hal ini nilai a yang memenuhi adalah 5 dan –5, karena 52 = 25 dan(–5)2 juga = 25. Jika a = 64 maka nilai a = 8, sedangkan –8 bukan merupakan jawaban.Demikian juga dengan:x2= 4, maka x = 2 atau x = –2, tetapi 4 = 2x2=36, maka x = 6 atau x = –6, tetapi 36 = 6Secara umum dapat disimpulkan bahwa:2 = = abab untuk a dan b bilangan bulatAkar kuadrat dari bilangan a dengan at 0 adalah bilangan positif atau nol.
Penunjang Belajar MATEMATIKA untuk SMP/MTs Kelas 7203. Menentukan Akar Kuadrat suatu BilanganUntuk menentukan nilai kuadrat suatu bilangan bulat dapat dilakukan dengan beberapacara, yaitu cara menghitung langsung menggunakan kalkulator, tabel akar kuadrat, dan penaksiran.a. Menghitung LangsungPerhatikanlah contoh-contoh berikut.1.256 (dengan menarik akarnya), jadi 256=2 2 2 2 2 2 2 2uuuuuuu2562128264232216282422=82=42(2 )=24=16Dapat juga dilakukan dengan cara berikut:2.3.Hitunglah akar kuadrat 216sampai dua tempat desimal.Penyelesaian:21614, 69b.Menggunakan KalkulatorUntuk menentukan akar dari suatu bilangan dengan kalkulator ikutilah petunjuk berikut:1.Hidupkan kalkulator Anda dengan menekan ON atau AC.2.Tekan tombol bilangan yang akan dicari nilai akar kuadratnya.3.Tekan tombol "".256 = 16115615613026 u 6 =10 24 = 36912412413062 u 2 =111619624 u 4 =286 u 6 =200017162840026361120392929 u 9 =
Bilangan Bulat21Perhatikan contoh berikut ini:Tentukanlah 13225 = ... .Penyelesaian:Tekan tombol-tombol di atas secara berurutan dari kiri ke kanan, maka pada layar akan ke luaratau tertulis 115. Jadi 13225 = 115.D. PANGKAT TIGA DAN AKAR PANGKAT TIGA SUATUBILANGAN BULAT1. Pangkat TigaPangkat tiga suatu bilangan bulat adalah suatu bilangan yang diperoleh dari hasil perkalianbilangan bulat tersebut dengan dirinya sendiri sebanyak tiga kali.2. Akar Pangkat Tiga suatu Bilangan BulatPerhatikan bilangan pangkat tiga berikut ini:Bilangan Pangkat TigaAkar Pangkat Tiga03=030 = 013=131 = 123=838 = 233=27327 = 343=64364 = 4Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa akar pangkat tiga dari suatu bilangan bulatmerupakan kebalikan dari perpangkatan tiga dari bilangan bulat tersebut.ON1234533 = aba b untuk a dan b bilangan bulat# Akar pangkat tiga dari sebarang bilangan dengan at 0 adalah bilangan positif atau nol.3 0 untuk 0aatt# Akar pangkat tiga dari sebarang bilangan a dengan a < 0 adalah negatif3a < 0 untuk a < 0
Penunjang Belajar MATEMATIKA untuk SMP/MTs Kelas 7223. Menentukan Akar Pangkat Tiga dari suatu Bilangan BulatUntuk menentukan hasil akar pangkat tiga dari suatu bilangan bulat dapat dikerjakan denganmenghitung langsung atau menggunakan kalkulator.a. Dengan Cara MenghitungPerhatikanlah satuan hasil perpangkatan 3 dari bilangan 0 sampai 9 di bawah ini:03=0 satuannya 053= 125 satuannya 513=1 satuannya 163= 216 satuannya 623=8 satuannya 873= 343 satuannya 333=27 satuannya 783= 512 satuannya 243=64 satuannya 493= 729 satuannya 9Perhatikanlah contoh-contoh berikut:1.31728 = ...Satuan dari bilangan 1728 adalah 8.8 adalah satuan dari 23, maka satuan dari 31728 adalah 2. Untuk mengetahui puluhannya,perhatikanlah bilangan setelah 3 angka dari belakang, yaitu 1, kemudian carilah bilanganyang jika dipangkatkan dengan tiga hasilnya d 1 dan bilangan itu adalah 1, karena 13 = 1.Jadi, puluhan dari 31728 adalah 1. Jadi, 31728 = 12.2.3216 = ...atau3216=3332 3u=2 u 3=6Contoh 1.8Hitunglah nilai akar dari 32197Penyelesaian:Satuan dari bilangan 2197 adalah 7 dan 7 adalah satuan dari 33, jadi satuan dari 32197 adalah3. Puluhannya dicari dari bilangan 2 (setelah 3 angka dari belakang) jika dipangkatkan dengan3 hasilnya d 2, yaitu bilangan 1, maka puluhan dari 32197 adalah 1.Jadi,32197 = 13b.Dengan Menggunakan KalkulatorLangkah-langkahnya:1.hidupkan kalkulator Anda dengan menekan tombol ON atau AC,2.tekan tombol bilangan yang akan dicari,21621108296054201002720100092010000322233
Bilangan Bulat233.tekan tombol SHIFT atau 2ndF, dan4.tekan tombol ""Contoh 1.9Dengan menggunakan kalkulator tentukan hasil dari 3216.Penyelesaian:Untuk menentukan nilai dari 3216, tekanlah tombol di bawah ini secara berurutan dari kiri kekanan.setelah itu akan keluar pada layar 6.Jadi, 3216 = 6LATIHAN 1.51.Hitunglah akar kuadrat bilangan bulat di bawah ini!a.36d.841f.625b.64e.576g.729c.1212.Hitunglah akar kuadrat berikut sampai dua tempat desimal!a.12c.50e.125b.32d.75f.1503.Hitunglah akar kuadrat pada soal nomor 2 dengan kalkulator.Bagaimana hasilnya?4.Dengan menggunakan kalkulator hitunglah panjang diagonal persegi panjang jika diketahui:a.panjang 5 cm dan lebar 3 cmc.panjang 5 cm dan lebar 5 cmb.panjang 5 cm dan lebar 4 cmd.panjang 6 cm dan lebar 6 cm5.Tentukan nilai akar pangkat tiga!a.3216d.3125g.38000b.3729e.31728h.3625c.31000f.315625k.368596.Sebuah bak penampungan air berbentuk kubus berisi penuh dengan air. Jika isi bak tersebut2197 dm3. Berapakah panjang rusuk bak itu? (bak tanpa tutup).ON216SHIFT
Penunjang Belajar MATEMATIKA untuk SMP/MTs Kelas 724E.PENERAPAN KONSEP BILANGAN BULAT PADA PEMECAHANMASALAHPerhatikan contoh berikut ini!Sebuah bak mandi berbentuk kubus tanpa tutup mempunyai panjang rusuk 1,3 m. Tentukanlahvolume bak mandi tersebut. (Volume kubus = a3 dan a = rusuk kubus).Penyelesaian:Misalkan panjang rusuk bak mandi =am = 1,3 mberarti volume bak=a3 = auaua= 1,3 m u 1,3 m u 1,3 m= 2,197 m3Jadi, volume (isi) bak mandi tersebut adalah 2,197 m3 atau 2,197 "LATIHAN 1.61.Nina mempunyai sebuah kotak perhiasan yang berbentuk kubus. Panjang rusuk kubustersebut 18 cm. Hitunglah volume (isi) kotak perhiasan tersebut!2.Sebuah bilangan jika dikalikan dengan lawannya kemudian dibagi dengan –18, hasilnyaadalah bilangan prima yang kurang dari 3. Tentukanlah bilangan-bilangan itu!3.Ivan ingin membeli sebuah mainan tetapi uangnya belum cukup. Mulai esok harinya Ivanmenabung sebanyak Rp. 5.000,00 tiap hari, setelah 25 hari uang Ivan menjadiRp. 225.000,00. Berapakah uang Ivan mula-mula?4.Misalkan Bumi dan Bulan bentuknya dianggap seperti bola, tentukanlah volume dari:a.Bumi dengan jari-jari 6.000 km.b.Bulan dengan jari-jari 1.600 km.(Petunjuk: volume bola = 43SR3, R = jari-jari, S = 3,14 atau 227).F. BILANGAN PECAHAN1. Pengertian Bilangan PecahanSebuah apel dipotong menjadi 2 bagian yang sama seperti pada gambar 1.3, sehinggasetiap bagian besarnya adalah 12 bagian dari apel itu atau 12 bagian dari seluruhnya.Apabila 12bagian itu dipotong lagi menjadi dua bagian yang sama, maka setiap bagian besarnya 14 bagiandari seluruhnya.
Bilangan Bulat25Bilangan 12 dan 14 ini disebut bilangan pecahan untuk pecahan 12, bilangan 1 disebutpembilangdan bilangan 2 disebut penyebut.Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa pecahan merupakan bagian darikeseluruhan suatu bilangan dan dirumuskan denganContoh 1.10Tentukanlah pembilang dan penyebut dari pecahan-pecahan di bawah ini.a.34b.35c.23d.5xye. + + xymnPenyelesaian:a.Pecahan 34, pembilangnya adalah 3 dan penyebutnya adalah 4.b.Pecahan 35, pembilangnya adalah 3 dan penyebutnya adalah 5.c.Pecahan 23, pembilangnya adalah 2 dan penyebutnya adalah 3.d.Pecahan 5xy, pembilangnya adalah 5x dan penyebutnya adalah y.e. Pecahan + + xymn,pembilangnya (x + y) dan penyebutnya adalah (m + n).e.Pecahan + + xymn, pembilangnya (x + y) dan penyebutnya adalah (m + n).Gambar 1.3Jika a dan b bilangan cacah dengan bz 0 maka ab merupakan bilanganpecahan dengan adisebut pembilang dan b disebut penyebut.
Penunjang Belajar MATEMATIKA untuk SMP/MTs Kelas 726Contoh 1.11Panjang sebuah penggaris adalah 40 cm. Berapakah panjang dari:a.12 penggarisb.34 penggarisc.58 penggarisPenyelesaian:a.Panjang dari 12 penggaris = 12u 40 cm = 20 cm.b.Panjang dari 34 penggaris = 34u 40 cm = 30 cmc.Panjang dari 58 penggaris = 58u 40 cm = 25 cmLATIHAN 1. 71.Tuliskan pembilang dan penyebut dari pecahan-pecaan berikut.a.45c.67e. + mmnb.58d.79f.9 + 6a2.Sebuah menara tingginya 38 m dari permukaan tanah. Tentukanlah panjang menara dari:a.setengah tingginyac.lima perenam tingginyab.dua pertiga tingginyad.sepuluh perenampuluh tiga tingginya3.Nina mengupas sebuah jeruk manis yang isinya terdiri dari 13 siung yang sama besarnya.Tina teman Nina mengambil 6 siung. Tentukan berapa bagian (dalam bentuk pecahan) sisajeruk tersebut!4.Tuliskan dalam bentuk pecahan!a.3 hari dalam seminggu.b.8 minggu dalam setahun.5.Berapa bagian banyaknya bulan yang mempunyai tepat 30 hari dalam satu tahun?2. Pecahan Biasa atau Sederhana dan Pecahan CampuranPerhatikan gambar di bawah ini:Daerah persegi yang dibagi menjadi 4 bagian yang sama luasnya. Daerahyang diarsir adalah 1 bagian dari 4 bagian yang sama dan dinyatakandengan 14. Daerah yang tidak diarsir3 bagian dari 4 bagian yang samadan dinyatakan dengan 34.Pecahan 14 dan 34 memiliki pembilang yang nilainya lebih kecil dari nilaipenyebutnya. Pecahan seperti ini disebut pecahan murni (pecahan sejati).14141414
Bilangan Bulat27Contoh pecahan biasa lainnya adalah 51124, , , , ,52336 dan sebagainya.Dari uraian di atas, apabila nilai pembilang lebih kecil dari nilai penyebut suatu pecahan,maka pecahan itu disebut pecahan biasayang murni.Perhatikanlah pecahan-pecahan berikut:3674, , , 5326. Pecahan di samping memiliki pembilang yang nilainya lebih besar dari nilaipenyebutnya. Pecahan seperti ini disebut pecahan biasa yang tidak murni.Apabila suatu pecahan dituliskan 134, bila kamu perhatikan terdapat sebuah bilangan cacah,yaitu 1 dan sebuah pecahan murni, yaitu 34. Pecahan seperti ini disebut pecahan campuran.Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut:3. Mengubah Bilangan Pecahan Campuran ke Pecahan BiasaKamu tentunya sudah mengenal bilangan pecahan murni, yaitu bilangan pecahan yangpembilangnya kurang dari penyebutnya. Sebaliknya, pecahan yang pembilangnya lebih daripenyebutnya disebut bilangan pecahan tidak murni atau bisa juga disebut bilangan pecahancampuran, yaitu pecahan yang terdiri dari bilangan bulat dan bilangan pecahan biasa (murniatau pun tidak murni). Pecahan campuran dapat diubah menjadi bentuk pecahan biasa dan jugasebaliknya.Catatan:Mengubah bentuk pecahan tidak akan mengubah penyebutnya.Untuk lebih jelasnya, perhatikanlah contoh berikut ini:235 = ..., tulislah bilangan pecahan campuran 235 menjadi bilangan pecahan biasa.Cara 1:Cara 2:235=23 + 5235=5 3 + 25u=152 + 55=152 + 55Untuk suatu bilangan pecahan ab dengan bz 0.1.Jika a < b, maka ab disebut pecahan murni.2.Jika a > b, maka ab disebut pecahan tidak murni.3.Jika mcd dengan m bilangan cacah dan cd pecahan biasa, maka mcd disebutpecahan campuran.(Pecahan murni dan pecahan tidak murni merupakan pecahan biasa atau sederhana).
Penunjang Belajar MATEMATIKA untuk SMP/MTs Kelas 728=175=175Berdasarkan contoh di atas dapat dirumuskan:Contoh 1.12Ubahlah pecahan berikut menjadi pecahan biasa.a.335b.273Penyelesaian:a.335=33 + 5atau33 + 5=5 3 + 35u=153 + 55=185=185b.273=7 + 23atau273=3 7 + 23u=212 + 33=233=2334. Mengubah Bilangan Pecahan Biasa ke Pecahan Campuran.Perhatikan contoh berikut ini:Tulislah bilangan pecahan biasa 154 menjadi bilangan pecahan campuranCara 1:Cara 2:15 : 4= 3 sisa 31512333 = + = 3 + = 344444154= 334Pecahan campuran abc dengan cz 0 dapat diubah menjadi pecahan biasa ca bcu
Bilangan Bulat29Contoh 1.13Ubahlah bentuk pecahan berikut menjadi pecahan campuran.a.175b.234Penyelesaian:a.175=17 : 5 = 3 sisa 2 atau 175=152 + 55=223 + = 355b.234=12 : 4 = 5 sisa 3 atau 234=233 + 44=335 + = 544LATIHAN 1.81.Nyatakan bilangan-bilangan berikut dalam bentuk pecahan dengan penyebut 3.a. 4b. 7c. 12d. 232.Ubahlah pecahan-pecahan berikut menjadi pecahan campuran.a.53c.175e.11013b.437d.1008f.125203.Tuliskan dalam bentuk pecahan tidak murni.a.345b.435c.324d.2594.Urutkan bilangan pecahan berikut dalam urutan naik.a.331, , 0, dan 724c.321, 1, 1 , dan 5310b.333, , dan 5845.Ubahlah bilangan berikut dalam bentuk bilangan pecahan!a .12c .13e .27g.34b.15d.24f .326.Sisipkan satu bilangan pecahan di antara bilangan-bilangan berikut:a.1 dan 13c.11 dan 42b.11 dan 43
Penunjang Belajar MATEMATIKA untuk SMP/MTs Kelas 7307.Sisipkan tiga bilangan pecahan di antara pecahan berikut.a.1 dan 12 b. 1 dan 13 c. 53 dan 1248.Tuliskan dalam bentuk pecahan campuran!a.Lima buah apel dibagi menajdi 2 bagian yang sama besar.b.15 kg gula pasir dibagi menjadi 4 bungkus.9.Tentukan bilangan-bilangan berikut dalam bentuk pecahan tidak murni (pecahan biasa)!a.Suatu bilangan dibagi dengan 5, hasilnya 3 dan sisanya 4.b.Suatu bilangan dibagi dengan 7, hasilnya5 dan sisanya 2.c.Suatu bilangan dibagi dengan 11, hasilnya 5 dan sisanya 6.10. Sebuah drum berisi minyak goreng sebanyak 38 liter. Minyak ini dipindahkan ke 6 buahjerigen sedemikian sehingga isi (volume) masing-masing jerigen sama. Tuliskanlah isi tiapjerigen dalam bentuk pecahan campuran.5. Pecahan Senilai.Perhatikan gambar di atas! Lingkaran (1, (2), dan (3) mempunyai luas yang sama. Luasdaerah yang diarsir pada Gambar (i) adalah 12 dari lingkaran, pada Gambar (ii) adalah 24 darilingkaran, dan Gambar (iii) adalah 48 dari lingkaran. Dari Gambar 1.4 dapat dilihat bahwa luasdaerah yang diarsir pada ketiga lingkaran itu adalah sama.Jadi, 124 = = 248.Bentuk ketiga pecahan di atas disebut pecahan senilai. Selanjutnya perhatikanlahhubungan-hubungan berikut:11 2 2 11 33 11 4 4 = = = = = = 22 24 22 36 22 48uu u§· ̈ ̧uu u©¹22 : 2133 : 3144 : 41 = = = = = = 44 : 22 66 32 88 : 42§· ̈ ̧u©¹(i) = 12(ii) = 24(iii) = 48Gambar 1.4
Bilangan Bulat31Berdasarkan hubungan-hubungan di atas, pecahan senilai dapat diperoleh dengan caramembagi pembilang dan penyebut dengan suatu bilangan yang sama yang bukan nol.Pecahan senilai adalah pecahan yang nilainya tidak akan berubah walaupun pembilangdan penyebutnya dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama yang tidak nol.Untuk menentukan pecahan yang senilai dengan ab, bz 0 dapat digunakan hubunganberikut:Pecahan ab dengan bz 0 dapat diubah ke dalam bentuk paling sederhana dengan caramembagi pembilang dan penyebut pecahan itu dengan FPB dari a dan b. (FPB = FaktorPersekutuan Besar)Contoh 1.14Tentukanlah tiga pecahan yang senilai dengan:a.35b.812Penyelesaian:a.Untuk pecahan 35 pembilang dan penyebut kalikan dengan bilangan yang sama.33 2 63 3 93 412 = = atau = atau = 55 2105 3155 420uuuuuuJadi, 36 9 12 = = = 51015 20b.Untuk pecahan 812, pembilang dan penyebut dibagi atau dikali dengan bilangan yang sama,maka diperoleh:88 : 24 88 : 42 88 216 = = atau = = atau = = 1212 : 261212 : 431212 224uuJadi, yang senilai dengan pecahan 84216 adalah , , dan 126324 atau84216 = = = 126324Untuk p dan n bilangan asli, : = atau = : aapaanbbpbbnuu
Penunjang Belajar MATEMATIKA untuk SMP/MTs Kelas 732Contoh 1.15Tentukan bentuk yang paling sederhana dari pecahan berikut.a.1525b.1827c.2432d.4554Penyelesaian:a.FPB dari 15 dan 25 adalah 5, jadi1515 : 53 = = 2525 : 55; bentuk paling sederhana dari 153 adalah 255.b.FPB dari 18 dan 27 adalah 9, jadi1818 : 92 = = 2727 : 93, bentuk paling sederhana dari 182 adalah 273c.FPB dari 24 dan 32 adalah 8, jadi2424 : 83 = = 3232 : 84, bentuk paling sederhana dari 243 adalah 324d.FPB dari 48 dan 54 adalah 9, jadi4545 : 95 = = 5454 : 96, bentuk paling sederhana dari 455 adalah 546LATIHAN 1.81.Setiap gambar di bawah ini dibagi menjadi beberapa bagian yang sama. Tentukanlah luasdaerah yang diarsir dalam bentuk pecahan.a.b. c. 2.Tentukan dua pecahan yang senilai dengan pecahan-pecahan berikut ini.a.14b.58c.49d.783.Tentukan bentuk paling sederhana dari pecahan-pecahan berikut ini.a.1418c.3663e.4272b.921d.5680f.752504.Isilah titik-titik berikut:
Bilangan Bulat33a.1...... = = = 2...20bbc.4...28...... = = = = 721...3584b.182......24 = = = = 6...125...5.Pasangan-pasangan pecahan manakah yang merupakan pasangan pecahan yang senilai?a.2535 dan 4563c.96 dan 2121b.1418 dan 2127d.618 dan 8366. Mengurutkan Bilangan PecahanUntuk mengurutkan bilangan-bilangan pecahan yang harus dilakukan terlebih dahulu adalahmenyamakan penyebutnya (mencari KPK dari penyebut-penyebutnya). Kemudian urutkanpecahan itu menurut besarnya pembilang.Contoh 1.16Urutkan bilangan pecahan berikut dari yang terkecil sampai yang terbesar.25 43, , , dan 36 54Penyelesaian:KPK dari 3, 4, 5, dan 6 adalah 60, maka240550448345 = , = , = , dan = 360660560460Urutan pembilang adalah 40 < 45< 48 < 50 atau 50 > 48 > 45 > 40, berarti404548502345 < < atau < < < 606060603456 Jadi, urutan bilangan pecahan itu dari yang terkecil sampai yang terbesar adalah2345 < < < 3456
Penunjang Belajar MATEMATIKA untuk SMP/MTs Kelas 7347. Mencari Pecahan yang Terletak di antara Dua PecahanContoh 1.17a.Tentukan bilangan pecahan di antara 51 dan 36.b.Tentukan bilangan pecahan di antara 24 dan 53.c.Tentukan bilangan pecahan di antara 52 dan 36.Penyelesaian:a.51 ..., 36 dapat ditulis 52 ..., 36Pembilang di antara 2 dan 5 (bilangan bulat) adalah 3 dan 4. Jadi, bilangan pecahan antara5314 dan adalah dan 3666.b.102412 ..., dapat ditulis , ..., 531515. Pembilang di antara 10 dan 12 atau 11.Jadi, bilangan pecahan antara 2411 dan adalah 5315.c.5524, ..., dapat ditulis , ..., 3666.Pembilang di antara 4 dan 5 tidak ada.Jadi, pecahan di antara 52 dan 36 tidak ada.G. OPERASI HITUNG BILANGAN PECAHAN1. Penjumlahana. Penjumlahan Pecahan BiasaUntuk penjumlahan pecahan biasa yang penyebutnya sama, dapat dilakukan denganmenjumlahkan pembilang-pembilangnya, sementara penyebutnya tetap.Misalnya: ab abccc , untuk a, b, dan c bilangan bulat dan cz 0.Contoh 1.18Jumlahkanlah pecahan-pecahan berikut:1.121 23 = 44 4 4 2.767 6135 = = 1888 8 8 atau perhatikanlah gambar berikut ini:
Bilangan Bulat351.+=2.Untuk penjumlahan pecahan yang penyebutnya tidak sama dapat dilakukan dengan caramenyamakan penyebutnya terlebih dahulu, yaitu dengan mencari KPK dari penyebutnya.Kemudian lakukan penjumlahan terhadap pembilangnya. Untuk lebih jelasnya, perhatikanlahcontoh-contoh berikut:1.23 + = ...552.57 + = ...68Penyelesaian:1.23 + 55 = ... KPK dari 3 dan 5 adalah 1523 + 55 = 2 5 + 3 310 + 919 = = 3 51515uuuJadi, 2319 4 + = = 13515152.57 + 68= ... KPK dari 6 dan 8 adalah 2457 + 68=5 8 + 3 78 3uuu = 40 + 2124 = 6124Jadi 576113 + = = 26824 241424347868518
Penunjang Belajar MATEMATIKA untuk SMP/MTs Kelas 736Sifat-sifat penjumlahan bilangan pecahan sama dengan sifat-sifat penjumlahan pada bilanganbulat, yaitu:2. Pengurangan Bilangan PecahanPengurangan bilangan pecahan yang penyebutnya sama dapat dilakukan dengan cara yangsama seperti penjumlahan bilangan pecahan, yaitu mengurangkan pembilang-pembilangnya,sementara penyebutnya tetap.Misalnya: 545 41 = = 66 6 6Secara umum dapat dituliskan.Contoh 1.19a.31 = ...55b.76 = ...1212Penyelesaian:a.3155=3 15b.767 61 = = 12121212=25Untuk pecahan-pecahan yang penyebutnya tidak sama dapat dilakukan dengan menyamakanpenyebutnya terlebih dahulu, yaitu dengan mencari KPK dari penyebutnya, kemudian lakukanpengurangan terhadap pembilang-pembilangnya.Contoh 1.20a.21434 31 = = = 326666KPK dari 2 dan 3 adalah 6.b.5275=5 52 77 57 5uuuu = 25143535 = 1135(KPK 5 dan 7 adalah 35)Jadi 5211 = 7535(a + b = b + a), (a+ 0 = a) dan {(a + b) + c = a + (b + c)}Untuk sebarang pecahan dan acbb dengan bz 0, berlaku = acacbb b
Bilangan Bulat373. Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Pecahan CampuranContoh 1.211.Selesaikanlah 317 357!317 357=2157 33535 (samakan penyebut dengan mencari KPK dari 7 dan 5,yaitu 35)=261035 (jumlahkan bilangan bulat dengan bilangan bulat dan pecahandengan pecahan)atau317 357= (7 + 3) + 3157§· ̈ ̧©¹ (kelompokkan bilangan bulat dengan bilangan bulatdan pecahan dengan pecahan)= 10 + 2153535§· ̈ ̧©¹ (samakan penyebut pecahannya= 10 + 2635 (jumlahkan)=102635 (jumlahkan bilangan bulat dan pecahan).Dari contoh di atas dapat disimpulkan bahwa untuk menjumlahkan bilangan pecahancampuran hal pertama yang harus dilakukan adalah menjumlahkan bagian bilangan bulatdan bagian bilangan pecahan secara terpisah.2.Hitunglah pengurangan dari 218 553:Penyelesaian:218 553=658 51515=1315Sama halnya dengan penjumlahan bilangan pecahan campuran, pengurangan juga dapatdilakukan dengan cara mengurangkan bilangan bagian bilangan bulat dan bagian bilanganpecahannya secara terpisah terlebih dahulu.
Penunjang Belajar MATEMATIKA untuk SMP/MTs Kelas 738TUGAS SISWABangsa Mesir Kuno telah lama mengenal bilangan pecahan. Mereka menggunakan sistembilangan berdasarkan bilangan pecahan satuan, yaitu pecahan yang pembilangnya 1, seperti1111 1, , , , 57346, dan seterusnya. Bilangan lain seperti 25 mereka nyatakan sebagaipenjumlahan dari pecahan-pecahan satuan 25 dinyatakan dengan 1121 1 + = + 553315 danbukan 211 = + 555, kenapa?. Karena bilangan pecahan yang sama tidak boleh digunakan duakali. Cobalah kamu selesaikan pecahan-pecahan berikut menurut bangsa Mesir:37511, , , dan 528 1218.LATIHAN 1.121.Jumlahkanlah pecahan-pecahan berikut dalam bentuk pecahan yang paling sederhana.a.31 + 66d.71 + 28g.115 + 523b.32 + 55e.135 + 248h.247 + 2510c.34 + 88f.114 + 433i.2111 + 4342.Sederhanakanlah pengurangan pecahan berikut.a.8399d.73128g.213 254b.1061313e.5364h.3212 853c.1156f.112 1533.Sederhanakan perhitungan berikut ini.a.3117 8 5246c.5222 1 334b.3113 2 84424.Diketahui: a= 1113 , = 5 , dan = 4232bc. Hitunglah: 3a – 2b + c5.Tiga orang anak akan membagi warisan orang tuanya seperti berikut. Anak sulung menerima715 bagian, anak kedua menerima sebanyak Rp20.000.000,00 sedangkan anak bungsumenerima 15 bagian.a.Tentukan warisan yang diterima anak sulung dan bungsu.b.Hitunglah jumlah waisan tersebut!
Bilangan Bulat394. Perkalian Bilangan PecahanMisalkan di rumahmu ada taman, 12 bagian dari taman itu ditanami rumput manis, 13bagian yang tidak ditanami rumput, ditanami kembang. Apabila taman yang ditanami kembangdibandingkan dengan taman keseluruhan, dapatkah kamu mengetahui berapa bagian tamanyang ditanami kembang? Perhatikan gambar di bawah ini.Dari gambar di atas terlihat bahwa taman yang ditanami kembang dibandingkan dengantaman keseluruhan adalah 16 bagian.Jadi 111 111 11 dari = atau = = 326 323 26uuuSecara umum dituliskan:Contoh 1.22a.242 48 = = 575 735uuuc.575 735 = = 898 972uuub.232 31 = = 929 23uuuPada perkalian pecahan jika terdapat pecahan campuran, maka yang harus dilakukan terlebihdahulu adalah mengubah bentuk pecahan campuran tersebut menjadi bentuk pecahan biasa.T A M A NRumput11 dari 32Gambar 1.5Untuk sebarang pecahan dan acbd, dengan bz 0 dan dz 0, maka = acacbdbduuu
Penunjang Belajar MATEMATIKA untuk SMP/MTs Kelas 740Contoh 1.23a.3131133 2 = = 858540uub.12112311 232535 7 = = = 23232 3 6uuuuc.1428145 7354 2 = = = 65613 13uuuud.27 27 2117 = = = 91 91 9 9uuuue.3363 618 6 = = = 5515 15uuuuSifat-sifat perkalian pada bilangan pecahan sama dengan sifat-sifat perkalian pada bilanganbulat, yaitu:1.aub = bua2.(aub) uc = au (buc)3.au (b + c) = (aub) + (auc)5. Pembagian Bilangan PecahanPada operasi hitung bilangan bulat kamu telah mempelajari bahwa operasi pembagianmerupakan kebalikan dari operasi perkalian. Demikian juga bahwa pada pembagian bilanganpecahan. Perhatikanlah contoh-contoh di bawah ini:a.153 : 26=75 : 26atau 16 7 6 7 3 213 : = = = 25 2 555uu=215 : 66= 21 : 5=215Jadi, 153 : 26 sama artinya dengan 16653 kebalikan dari 2556§·u ̈ ̧©¹Untuk perkalian bilangan pecahan campuran berlaku: = dengan , 0acpbc qdcpqbdbdbduu§·§·uuz ̈ ̧ ̈ ̧©¹©¹
Bilangan Bulat41b.93 : 82=912 : 88atau 93 9 2 3 : = = 82 8 3 4u=9 : 12=9 : 312 : 3=34Jadi, 93 : 82 sama artinya dengan 9323 kebalikan dari 8232§·u ̈ ̧©¹.Dari contoh-contoh di atas pembagian bilangan pecahan dapat dirumuskan sebagai berikut.TUGAS SISWACoba tentukan dua bilangan yang apabila kedua bilangan itu ditulis dalam bentuk pecahan,nilainya akan sama dengan nilai pecahan-pecahan tersebut apabila diputar sejauh 180o.Contoh 1.24Tentukan nilai dari:a.34 : 515b.66 : 9c.213 : 233Penyelesaian:a.34 3 153 39 : = = = 515 5 444uub.66 : 9=66 9u=9c.213 : 233=117 : 33=11337u = 113Untuk pecahan dan acbd, bz 0 dan dz 0, maka berlaku: : ac a d adbd b c bc u
Penunjang Belajar MATEMATIKA untuk SMP/MTs Kelas 742Contoh 1.25Hasil kali dua bilangan sama dengan 39. Salah satu bilangan itu bernilai 143. Tentukanlahbilangan lainnya!Penyelesaian:Misalkan bilangan yang lainnya adalah p.Jadi 14 3pu=39p= 39 : 143= 39 : 133=339 13u=9Jadi, bilangan yang kedua adalah 9.LATIHAN 1.131.Dengan menggunakan gambar, tentukanlah nilai perkalian berikut:a.1123ub.1143uc.3494u2.Selesaikanlah perkalian berikut dalam bentuk paling sederhana!a.3156uc.741214ue.34 458ub.53915ud.25121528uf.722 559u3.Sebuah gelang mengandung emas sebanyak 18 karat dari 24 karat. Jika berat kalungnya80 gram, berapakah berat kandungan emasnya? (Catatan 18 karat dari 24 karat artinya1824 bagian).4.Sebidang tanah berbentuk persegi panjang. Panjangnya 1212 m dan lebarnya 712 m.Hitunglah:a .luasnya.b.kelilingnya.5.Hitunglah nilai dari pembagian berikut:a.84 : 510d.210 : 3b.314 : 382e.33 1512 + : + 510189c.25 : 956.Dalam suatu kelas ada 48 siswa, 12 dari siswa itu senang berenang dan 58 dari siswa suka
Bilangan Bulat43berenang dan tennis meja. Tentukanlah banyaknya siswa yang suka main tennis meja.7.Diketahui p= 12, q = 212, dan r= 34Hitunglah:a.pq dan prb.p : qc.pq : (r)6. Perpangkatan Bilangan PecahanPemangkatan bilangan bulat a dirumuskan dengan: ... sebanyak faktornaaaaanuuu uKonsep ini juga berlaku untuk pemangkatan bilangan pecahan. Untuk pemangkatan sebarangpecahan ab dirumuskan dengan: = ... sebanyak faktorna aaaab bbbbn§·uuuu ̈ ̧©¹bz 0, n bilangan asliContoh 1.261.2222222 224 = = = = 5555 5255u§·u ̈ ̧u©¹2.33322222 2 228 = = = = 33333 3 3273uu§·uu ̈ ̧uu©¹Untuk a dan b bilangan bulat dengan bz 0 dan n bilangan asli maka berlaku sifat-sifatsebagai berikut:1. = nnnaabb§· ̈ ̧©¹2. + = mnmnaaabbb§· §· §·u ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹ ©¹ ©¹3. : = mnmnaaabbb§· §· §· ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹ ©¹ ©¹4. = nmmnaabbªº§· §·«» ̈ ̧ ̈ ̧©¹ ©¹«»¬¼
Penunjang Belajar MATEMATIKA untuk SMP/MTs Kelas 744LATIHAN 1.14Nyatakanlah dalam bentuk faktor pemangkatan-pemangkatan di bawah ini!1.a.225§· ̈ ̧©¹d.435§· ̈ ̧©¹g.322255§· §·u ̈ ̧ ̈ ̧©¹ ©¹b.356§· ̈ ̧©¹e.3122§· ̈ ̧©¹h.5333 : 55§· §· ̈ ̧ ̈ ̧©¹ ©¹c.412§· ̈ ̧©¹f.4114§· ̈ ̧©¹i.2334ªº§·«» ̈ ̧©¹«»¬¼2.Hitunglah:a.3213 + 24§· §· ̈ ̧ ̈ ̧©¹ ©¹c.3263714§· § · ̈ ̧ ̈ ̧©¹ © ¹e.325592§· §·u ̈ ̧ ̈ ̧©¹ ©¹b.2234 + 53§· §· ̈ ̧ ̈ ̧©¹ ©¹d.23212 132§· §· ̈ ̧ ̈ ̧©¹ ©¹f.32114 : 122§·§· ̈ ̧ ̈ ̧©¹©¹3.Hitunglah nilai n dari:a.11 = 28n§· ̈ ̧©¹c.26251 = 381n§· ̈ ̧©¹b.216 = 381n§· ̈ ̧©¹d.110241 = 3729n§· ̈ ̧©¹4.Sebuah bola dipantulkan dari lantai. Pantulan pertama 212 m. Tinggi pantulan berikutnyaditetapkan 23 kali pantulan sebelumnya. Hitunglah berapa meter panjangnya dari pantulanpertama sampai pantulan keempat.H. MENGENAL BILANGAN DESIMALBilangan pecahan biasa atau bilangan pecahan campuran yang telah kamu pelajarisebelumnya dapat dinyatakan dalam bentuk bilangan pecahan desimal dan demikian pulasebaliknya. Sebagai contoh pecahan-pecahan 33 3, , 10 100 1000, dan seterusnya dapat dinyatakandalam bentuk 0,3, 0,03, 0,003 dan seterusnya. Bentuk-bentuk seperti 0,3, 0,03, 0,003, danseterusnya inilah yang disebut dengan bentuk bilangan desimal. Ada 2 cara penulisan tandadesimal, yaitu tanda titik (.) atau tabda koma (,). Misalnya 0,25 atau 0.25.
Bilangan Bulat451.Pembulatan bilangan pecahan desimal.Perhatikan contoh-contoh berikut:1) 25,9 disebut bilangan pecahan satu desimal2) 30,67 disebut bilangan pecahan dua desimal3) 60,797 disebut bilangan pecahan tiga desimal.2.Aturan pembulatan bilangan pecahan desimal.a) Jika angka yang mengalami pembulatan < 5, maka angka tersebut dihilangkan. Misalnya:–1,54 = 1,5 (dibulatkan sampai satu tempat desimal)–2,783 = 2,78 (dibulatkan sampai dua tempat desimal)–7,1534 = 7,153 (dibualtkan sampai tiga tempat desimal) dan seterusnya.b) Jika angka yang mengalami pembulatan t 5, maka angka di depannya ditambah satu.Misalnya:–2,56 = 2,6 (dibulatkan sampai satu tempat desimal)–4,789 = 4,79 (dibulatkan sampai dua tempat desimal)–10,5438 = 10,544 (dibulatkan sampai tiga tempat desimal).1. Mengubah Pecahan Biasa Menjadi Bilangan DesimalUntuk mengubah pecahan biasa menjadi bilangan desimal dapat dilakukan dengan caraberikut ini.a.Untuk pecahan-pecahan yang penyebutnya bilangan 10 atau kelipatan dari 10 dapat diubahlangsung di mana banyaknya angka desimal yaitu angka di sebelah kanan koma atau titikyang diperoleh sama dengan banyaknya nol pada penyebut.Misalnya:#6100= 0,06 ada 2 angka nol pada penyebutnya, maka akan ada 2 angka 0 didepan bilangan desimalnya.#18, 3171.000= 18,317#211000= 0,021b.Untuk pecahan-pecahan yang penyebutnya bukan bilangan 10 atau kelipatan 10, yangharus dilakukan terlebih dahulu adalah mengubah penyebutnya menjadi bilangan 10 ataukelipatannya.Misalnya:22 2 4 = = = 0,455 210uu55 125625 = = = 0,62588 1251000uu77 428 = = = 0,282525 4100uu
Penunjang Belajar MATEMATIKA untuk SMP/MTs Kelas 746c.Untuk pecahan-pecahan yang penyebutnya tidak dapat diubah menjadi bilangan 10 ataukelipatannya, maka yang dilakukan adalah pembagian biasa.Misalnya:1.9 = ...172.31 = ...6Jadi, 917 = 0,529Jadi, 316 = 5,166(sampai 3 tempat desimal).(sampai 3 tempat desimal).2. Mengubah Pecahan Campuran Menjadi Pecahan DesimalCara mengubah pecahan campuran menjadi pecahan desimal, sama seperti cara mengubahpecahan biasa menjadi pecahan desimal. Perhatikanlah contoh-contoh berikut ini!1.32 = 8,3104.485 = 5 = 5,85102.85 = 5,081005.37512 = 12 = 12,7541003.512 = 12,0051006.5107 = 10,714 (sampai tiga tempat desimal)3. Mengubah Pecahan Desimal Menjadi Pecahan Biasa atau PecahanCampuranKamu telah mempelajari bahwa pecahan biasa dan pecahan campuran dapat diubah menjadibentuk pcahan desimal, demikian juga sebaliknya.Pecahan 55 5, , 10 100 1000, dan seterusnya yang penyebutnya 10, 100, 1000, dan seterusnyadapat ditulis dalam bentuk pecahan desimal 0,5; 0,05; 0,005.0,52917 90000850005000340016015375,1666 3100030000100060040036340364
Bilangan Bulat47Contoh 1.27Tulislah bilangan-bilangan desimal berikut dalam bentuk pecahan.a .0,625b.0,056c .18,24Penyelesaian:a.0,625 = 625625 : 1255 = = 10001000 : 1258c .18,24=18 + 24 + 10100Jadi 0,625 = 58=18 + 204 + 100100b.0,056 = 5656 : 87 = = 10001000 : 8125=18 + 24100Jadi 0,056 = 7125=18 + 24 + 4100 + 4=18 + 166 = 182525Jadi 18,24 = 61825LATIHAN 1.151.Ubahlah pecahan-pecahan berikut menjadi bilangan desimal.a.510c.5510e.4540g.1202b.325d.931000f.128125h.282.Ubahlah pecahan-pecahan di bawah ini menjadi pecahan desimal sampai 3 tempat desimal.a.1318c.47e.4112f.167b.813d.5373.Nyatakan pecahan-pecahan berikut dalam bentuk pecahan biasa atau pecahan campuran.a .2,5c .12,003e .2,34b.3,14d.30,12f.1,084.Dengan cara membagi, tulislah pecahan berikut sebagai pecahan desimal berulang.(Misalnya: 13 = 0,3333 ... ditulis 1 = 0,33 disebut pecahan desimal berulang).a.23b.89c.106d.1112
Penunjang Belajar MATEMATIKA untuk SMP/MTs Kelas 7484. Bentuk Pecahan Persen dan Permila. PersenApabila kamu membandingkan suatu bilangan dengan 100, maka kamu akan menemukanpersen yang artinya per seratus. Dengan kata lain persen adalah bilangan pecahan yangpenyebutnya 100, dilambangkan sebagai %. Kamu dapat menuliskan perbandingan 1,5100 sebagai1,5%, 40100 sebagai 40%, dan sebagainya.a) Mengubah pecahan menjadi persenDapat dilakukan dengan 2 cara, yaitu:1.Mengubah penyebut pecahan menjadi 100.Misal:a.14 = ... %b.810 = ... %Penyelesaian:a.11 2525 = = = 25%44 25100uub.88 1080 = = = 80%1010 10100uu2.Jika penyebutnya tidak dapat diubah menjadi 100, maka pecahan tersebut dikalikandengan 100%.Misal:a.23 = ... %b.940 = ... % Penyelesaian:a.222002 = 100% = % = 66 %3333ub.999001 = 100% = % = 22 %4040402uDari contoh di atas dapat disimpulkan bahwa:Bentuk ab, bz 0 dapat diubah menjadi bentuk persen abu 100%.b) Mengubah bentuk persen menjadi bentuk pecahan.1.25% =251 = 10042.45% =459 = 100203.111515 21312215 % = = = 2100100 2200uu
Bilangan Bulat494.112525 31763325 % = = = 3100100 3300uuSecara umum contoh di atas dapat ditulis:% = 100aab.Permil atau PerseribuPermil adalah bilangan pecahan yang penyebutnya 1000 dan lambangnya adalah ooo. Kamudapat menuliskan perbandingan 51000 sebagai 5ooo, 10,51000 sebagai 10,5ooo, dan seterusnya.a) Mengubah bentuk pecahan menjadi permilMengubah pecahan menjadi permil dapat dilakukan dengan 2 cara:1) Mengubah penyebut pecahan menjadi 1000Misal:a)125 = ... ooob.8125 = ... oooPenyelesaian:a)11 4040 = = = 402525 401000uuoooJadi 1 = 4025ooob)88 864 = = = 64125125 81000uuoooJadi 8125 = 64ooo2) Untuk pecahan yang penyebutnya tidak dapat diubah menajdi 1000, maka pecahan itudikalikan dengan 1000ooo.Misal:a.215 = ... ooob.223 = ... oooPenyelesaian:a.2220001 = 1000 = = 1331515153uoooJadi 21 = 133153ooo
Penunjang Belajar MATEMATIKA untuk SMP/MTs Kelas 750b.22200022 = 1000 = = 8623232323uoooJadi 222 = 862323oooMenurut contoh-contoh di atas bentuk permil dapat dirumuskan secara umum:Untuk ab , bz 0, maka 1000abuooob) Mengubah permil menjadi pecahan.Misal:1.150ooo = 150153 = 1000100202.36ooo = 36910002503.1713ooo = 117 352133 = 1000 33000750uuDalam hal permil dapat dirumuskan dengan:aooo = 91000LATIHAN 1.161.Ubahlah pecahan-pecahan di bawah ini dalam bentuk persen.a.12d.825f.716b.35e.910g.58c.322.Ubahlah bentuk persen berikut ini dalam bentuk pecahan yang paling sederhana.a.30%c.45%e.150%b.1212%d.75%f.8712%3.Menjelang hari raya Idul Fitri ongkos pesawat terbang naik 15%. Jika hari biasa tarifpesawat terbang Rp. 550.000,00, hitunglah ongkos menjelang hari raya tersebut!
Bilangan Bulat514.Nyatakanlah pecahan-pecahan berikut dalam permil!a.34d.417f.1720h.0,02b.78e.2312g.0,45c .0,009c.6255.Nyatakan pecahan permil berikut dalam bentuk pecahan biasa yang paling sederhana.a. 80ooob.125oooc .128oood. 375ooo6.Tentukanlah nilai-nilai berikut:a. 20ooo dari 48000 mb.125ooo dari 13600 kgc.250% dari 75ooo7.Jumlah siswa pada tiap kelas di suatu sekolah 48 orang. Pada suatu hari jumlah siswa yangtidak hadir di salah satu kelas sebanyak 12 orang. Tentukanlah dalam persen siswa yanghadir!I. OPERASI HITUNG PECAHAN DESIMAL1. Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan DesimalPada penjumlahan atau pengurangan bilangan-bilangan dalam bentuk desimal yang perludiperhatikan adalah lajur-lajur perseratursan, persepuluhan, satuan, puluhan, ratusan, dansebagainya. Perseratusan ditempatkan dalam satu lajur, demikian jua persepuluhan, koma desimal,satuan, pluhan, ratusan, dan sebagainya.Contoh 1.28Hitunglah nilai penjumlahan dari:1.a.12,325; 8,135b.21,032; 9,802; 5,181Penyelesaian:Penyelesaian:12,32521,03218,13519,80220,46015,18136,0152.Kurangkanlah:a.25,56 – 13,5b. 24,56 – 23,72Penyelesaian:Penyelesaian:25,5624,5613,5 o 13,5 boleh juga ditulis 13,5023,7212,060,84
Penunjang Belajar MATEMATIKA untuk SMP/MTs Kelas 752LATIHAN 1.171.Jumlahkanlah bilangan-bilangan desimal berikut:a.4,57 dan 5,83c.18,05; 56,18, dan 125,12b.15,21 dan 12,152.Kurangkanlah!a.28,19 – 11,27c.125,835 – 98,847b.56,75 – 27,833.Selesaikanlah!a.2,543 + 1,075 – 3,211c.15,25 – 8,015 – 6,912b.3,106 – 2,058 + 0,1154.Dua buah kapal laut berangkat dari salah satu pelabuhan dengan jalur yang sama. Kapalpertama berangkat dari pelabuhan pada pagi hari dan kapal kedua berangkat dari pelabuhanpada sore harinya. Pada hari kedua, jarak yang ditempuh kapal pertama sejauh 356,175km sedangkan kapal kedua sejauh 218,25 km. Tentukanlah selisih jarak yang ditempuhkapal pertama dan kapal kedua!5.Pehatikanlah gambar trapesium di bawah ini.Diketahui:AB = 18,2 cm, AD = 13,8 cm, dan CD =12,5 cmJika keliling trapesium ABCD adalah 59,8cm, tentukanlah panjang sisi BC!2. Perkalian dan Pembagian Pecahan Desimala. Perkalian dengan Angka 10Untuk mengetahui bagaimana caranya bilangan pecahan desimal apabila dikalikan 10 adalahdengan cara menggeser angka-angka desimalnya satu tempat ke kiri sementara koma desimaldibiarkan tetap pada tempatnya, sehingga hasilnya menjadi 10 kalinya bilangan semula. Demikianjuga halnya perkalian dengan seratus, seribu, dan seterusnya.Atau dengan cara menggeser koma satu tempat ke kanan dari tempat semula. Demikianjuga apabila dikalikan seratus, geserkan koma dua tempat ke kanan dari tempat semula, demikianseterusnya.ABCD
Bilangan Bulat53Contoh 1.29Kalikanlah:1.a.5,36 u 10b.24,526 u 100Penyelesaian:Penyelesaian:5,36 u 10 = 53,624,526 u 100 = 2452,6(koma digeser satu tempat ke kanan)(koma digeser 2 tempat ke kanan)2.Hitunglah.a.2,8 u 3,4Penyelesaian:2,8 u 3,4 =842 31010uatau dengan menggunakan perkalian susun:=842 31010u=842 31010u=9,52Jadi, 2,8 u 3,4 = 9,52 (banyak angka di belakang koma 2, yaitu 8 dan 4)b.4,24 u 800 untuk perkalian ini lebih dahulu kalikan dengan 100, kemudian hasilnyakalikan 8.Jadi, 4,24 u 800=4,24 u 100 u 8=424 u 8=3424LATIHAN 1.181.Kalikanlah bilangan-bilangan berikut dengan 10, 100, dan 1000!a .0,08c .0,012b.3,25d.0,20132.Hitung hasil perkalian berikut!a.5,5 u 20c.0,025 u 800b.5,75 u 4000d.0,009 u 80003.Hitunglah!a.3,4 u 2,8c.24,8 u 0,012d.2,36 u 1,5b.12,5 u 0,08d.3,01 u 3,125e.2,36 u 154.Sebuah kolam renang berbentuk persegi panjang dengan ukuran, panjangnya 12,25 m danlebar 8,25 m. Hitunglah luas kolam tersebut!
Penunjang Belajar MATEMATIKA untuk SMP/MTs Kelas 754b.Pembagian Bilangan Desimal dengan Angka 10Pada pembagian dengan angka 10 dapat dilakukan dengan menggeser angka-angka satutempat ke kanan sementara koma desimal dibiarkan tetap pada tempatnya. Demikian jugahalnya pada pembagian dengan 100, cukup menggeser angka dua tempat ke kanan dan begituseterusnya.Contoh 1.301.Hitunglah 48,56 : 10Penyelesaian:48,56 : 10 = 4,856; angka 8 bergeser satu tempat ke kanan.2.236,7 : 100 = 2,3673.1158,2 : 1000 = 1,15824.2, 5142,5140,02514 = = = 0,012572002 1002uc.Pembagian Antarpecahan DesimalContoh 1.311.28,566 : 0,6 = 28,56610285,66 = = 0, 61062.20,586 : 5,48 =20,5861005, 48100u=2058, 6548=3,756Jadi 20,586 : 5,48 = 3,756 (sampai 3tempat desimal).Jadi, 28,566 : 0,6 = 47,61Dari contoh di atas untuk menyelesaikan pembagian antarpecahan desimal yang harusdilakukan terlebih dahulu adalah mengubah penyebutnya menjadi bilangan bulat dengan caramengalikannya dengan 10 atau kelipatannya baru kemudian kita lakukan pembagian biasa.247,61285,6624245242243624362436624366243606
Bilangan Bulat55LATIHAN 1.191.Bagilah masing-masing bilangan berikut dengan 10, 100, dan 1000!a .1245c .8,36b.28,46d.0,01252.Bagilah setiap bilangan berikut dengan 6, 60, dan 600!a .324b.18,84c .0,0123.Hitunglah pembagian berikut:a.5,824 : 2,4c.473,8 : 4,8b.8,6 : 2,3d.0,053: 0,874.Luas suatu persegi panjang adalah 108, 75 cm2. Hitunglah lebarnya, jika panjangnya 12,5cm!5.Hasil kali dua bilangan adalah 44,24. Jika bilangan pertama adalah 7,9 tentukanlah bilangankedua!d. Menaksir Hasil Perkalian dan Pembagian Bilangan PecahanMisalnya kita mau memperkirakan (menaksir) hasil kali dari 4,5 u 2,3. Perkalian ini dapatdihitung dengan cara 5 u 2 = 10 sebagai taksiran. Perkiraan dilakukan untuk melihat apakahletak koma desimal sudah pada tempat yang benar. Demikian juga halnya pada pembagian.Contoh 1.32Hitunglah:a.40,6 u 0,42c.24,8 : 3,12b.0,56 u 0,018d.0,0623 : 0,389Penyelesaian:a.39,6 u 4,3 = 404 = 10b.0,56 u 0,018 = 0,6 u 0,02 = 0,012c.23,8 : 3,12 = 243 = 8d.0, 06230,060,6 = = = 0,150, 3890,44LATIHAN 1.201.Buatlah perkiraan jawaban soal-soal berikut, kemudian lakukan perhitungannya!a.8,5 u 2,6b.205 u3,162.Dengan cara yang sama seperti soal 1 lakukan perhitungan untuk pembagian berikut.a.11,56 : 0,4b.26,4 : 1,28
Penunjang Belajar MATEMATIKA untuk SMP/MTs Kelas 7563.Sisi sebuah persegi panjang 2,23 cm. Taksirlah luas dan kelilingnya!4.Sebuah kolam ikan dengan ukuran 24,8 m u 15,4 m. Taksirlah luas kolam tersebut, kemudianlakukan perkalian sesungguhnya!J. PEMBULATAN PECAHAN DESIMALPembulatan pada bilangan pecahan desimal perlu diketahui, misalnya pecahan 2,8362disederhanakan penyajiannya dengan membatasi banyaknya tempat desimal sesuai kebutuhan.Proses penyederhanaan ini disebut pembulatan pecahan desimal. Perhatikan cara pembulatandi bawah ini.2,8362 akan disederhanakan sampai:a.3 tempat desimal: 2,836 (2 < 5, dihilangkan)b.2 tempat desimal: 2,84 (3 berubah jadi 4, karena 6 > 5)c.1 tempat desimal: 2,8 (4 < 5, dihilangkan).Contoh 1.33Bulatkan pecahan-pecahan berikut!a.5,742, satu tempat desimalb.8,6666, dua tempat desimalc.0,675, satu tempat desimald.45,143, dua temapt desimalPenyelesaian:a.5,742 = 5,74c.0,675 = 0,7b.8,6666 = 8,67d.45,143 = 45,14LATIHAN 1.211.Bulatkanlah pecahan-pecahan berikut sampai 1 tempat desimal1a .8,3648c .12,452b.6,072d.20,24972.Bulatkan pecahan berikut sampai 2 tempat desimal.a .2,2448c .12,062b.10,0472d.20,43853.Ubahlah pecahan berikut menjadi pecahan desimal yang dibulatkan sampai 2 tempat desimal!a.1112b.2580c.718d.7258
Bilangan Bulat57K. BENTUK BAKUUntuk bilangan-bilangan yang sangat besar atau yang sangat kecil, mungkin kamu akankesulitan membaca ataupun menuliskannya. Misalnya: kecepatan cahaya 300.000.000 m/s ataumassa neutron sebesar 0,000.000.000.000187 gr. Ada sebuah cara untuk mengatasi kesulitan diatas, yaitu dengan menuliskannya ke dalam bentuk baku (bentuk ilmiah). Bentuk ini adalahbentuk yang sangat efisien untuk menuliskan bilangan-bilangan yang sangat besar atau yangsangat kecil.Bentuk baku ditulis sebagai perkalian dua faktor. Faktor pertama merupakan bilanganyang lebih besar atau sama dengan 1 tapi kurang dari 10, dan faktor kedua merupakan bilanganberpangkat dengan bilangan pokok 10.Perhatikanlah bilangan-bilangan berikut:#300.000.000 dapat ditulis menjadi 3 u 108#0,000.000.000.000187 dapat ditulis menjadi 1,87 u 10–13Bentuk baku (notasi ilmiah) dirumuskan denganau 10n untuk 1 da dan n bilangan bulat1.Bentuk baku untuk bilangan besarBentuk baku dari bilangan yang lebih besar dari 10 dinyatakan denganau 10n, n A dan 1 da < 10Contoh:3.500.000.000=3,5 u 109a = 3,5 dan n = 9175.000.000.000 =1,75 u 10 a = 1,75 dan n = 102.Bentuk baku (notasi ilmiah) bilangan antara 0 dan 1 dinyatakan dalamau 10–n dengan n A dan 1 da < 10Contoh:Nyatakan dalam bentuk baku:a .0,000.045b.0,00000256Penyelesaian:a.0,000045 = 545454,5 = = 4,5 101010ub.0,00000126 = 6561261261,26 = = = 1,26 101000001010u
Penunjang Belajar MATEMATIKA untuk SMP/MTs Kelas 758LATIHAN 1.221.Nyatakan bilangan-bilangan berikut dalam bentuk baku!a .5.000c .40.000e .20.000.000.000b.7850d.7.950.000.0002.Nyatakan bilangan berikut dalam bentuk baku sampai satu tempat desimal (misalnya2852 = 2.852 u 103 = 2,6 u 103)!a .10350c .158.000.000b.15400d.43260003.Nyatakan bilangan-bilangan berikut dalam bentuk bilangan pecahan dan desimal.a. 10–2b.10–5c. 10–6d.10–84.Tuliskan dalam bentuk tanpa pangkat (bentuk umum).a.7,25 u 103d.2,2008 u 106b.1,256 u 107e.1,8 u 1010c.8,3118 u 1025.Nyatakan dalam bentuk baku!a .0,56d.0,000018b.0,00024e .0,0000475c .0,475f.0,000 000 0006.Tulislah pernyataan-pernyataan berikut dalam bentuk baku.a.Kecepatan suara di air adalah 1450 m/sb.Jari-jari (radius) bumi kira-kira 64650000 mc.Jarak bumi dan matahari kira-kira 149000000 kmd.Masa bumi 6600.000.000.000.000 tonL. PENERAPAN BILANGAN PECAHAN DALAM PEMECAHANMASALAHPembahasan kali ini lebih khusus mengenai penerapan sifat-sifat operasi hitung bilanganpecahan dalam memecahkan masalah kehidupan sehari-hari.Misalnya:1.Ahmad, Beno, dan Cepot harus menyelesaikan suatu proyek dalam jangka waktu yangsudah ditentukan. Oleh karena itu, pekerjaan tersebut akan dibagi menurut kemampuanmasing-masing. Ahmad menyelesaikan 38 bagian, Beno menyelesaikan 14 bagian, danCepot menyelesiakan 1540 bagian. Tentukan jumlah bagian yang dikerjakan oleh:a.Ahmad dan Benoc.Beno dan Cepotb.Ahmad dan Cepot
Bilangan Bulat59Penyelesaian:Ahmad (A)=38; Beno (B) = 14, dan Cepot (C) = 1540a.A + B=313 + 25 + = = 8488Jumlah bagian yang dikerjakan Ahmad dan Beno adalah 58 bagianb.A + C=31515 + 15303 + = = = 84040404Jumlah bagian yang dikerjakan Ahmad dan Cepot adalah 34 bagian.c.B + C=11510 + 15255 + = = = 44040408Beno dan Cepot adalah 58 bagian2.Tuti membawa selayang kue bolu ke sekolanya untuk dibagi-bagi di kelasnya pada saatulang tahunnya. Pembagiannya seperti berikut, untuk gurunya 16 bagian, untuk siswaperempuan 58 bagian dan sisanya untuk siswa laki-laki. Tentukanlah bagian kue untuksiswa laki-laki.Penyelesaian:kue bolu yang dibawa=1 bagianuntuk gurunya=16 bagianuntuk siswa putri=58 bagianbagian siswa laki-laki=151 68=24415242424=524Jadi, bagian kue bolu yang diperuntukkan untuk siswa laki-laki adalah 524 bagian.LATIHAN 1.231.Tiga siswa mengerjakan sejumlah soal matematika. Untuk menyelesaikan soal ini, mereka
Penunjang Belajar MATEMATIKA untuk SMP/MTs Kelas 760membagi-bagi soalnya seperti berikut: untuk si A 524 bagian, untuk si B 524 bagian, dansisanya untuk si C. Tentukanlah jumlah bagian soal untuk A dan C.2.Dalam pemilihan ketua kelas terdapat 3 calon yang akan dipilih, yaitu Andika, Benito, danCandra. Setelah diadakan pemungutan suara, ternyata Andika memperoleh 35 bagian suaradan Benito memperoleh 13 bagian suara. Jika banyak siswa di kelas itu 45 orang, berapabanyak suara yang diperoleh Candra?3.Seorang ibu mempunyai 3 orang anak putri. Ibu ini bermaksud membagikan sehelai kainsutera yang panjangnya 923 meter. Masing-masing putrinya memperoleh panjang yangsama. Tentukanlah panjang masing-masing kain tersebut.4.Dina berbelanja ke sebuah Indomaret. Dina membelanjakan 13 bagian uangnya untukmembeli beras, 15 bagian uangnya membeli susu, dan sisanya membeli makanan-makananringan. Tentukan berapa bagian uangnya untuk membeli makanan-makanan ringan.RINGKASAN1.Himpunan bilangan bulat adalah {... –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}.2.Untuk a, b, –a, dan –b sebarang bilangan bulat, berlaku:–a + (–b) = –(a + b)–a + b = b – a, untuk b > a–a + b = –(a – b), untuk b < a3.Pada operasi penjumlahan bilangan bulat berlaku:a.sifat tertutupb.sifat komutatif: a + b= b+ a4.Unsur identitas pada penjumlahan adalah nol (0).5.Lawan atau invers jumlah dari a adalah ~a.6.Pada pengurangan bilangan bulat hanya berlaku sifat tertutup.7.Untuk setiap bilangan bulat a dan b berlaku:au (–b) = –(aub)(–a) ub = –(aub)(–a) u (–b) = (aub)8.Pada perkalian bilangan bulat berlaku:a.tertutupb.sifat komutatif :aub = buac.sifat asosiatif : (aub) uc = au (buc)
Bilangan Bulat61d.sifat distributif :a(b + c) = (aub) + (auc)au (b – c) = (aub) – (auc)9.Unsur identitas pada perkalian adalah bilangan 1.10. Tanda (+) menunjukkan bilangan positif dan tanda (–) menunjukkan bilangan bulat negatifuntuk:(+) : (–) = (–)(–) : (+) = (–)(–) : (–) = (+)11. Operasi pembagian merupakan operasi kebalikan dari perkalian.a : b = c b u c = a12. Untuk setiap bilangan bulat a, maka a : 0 tidak didefinisikan dan 0 : a = 0.13. Pada operasi pembagian bilangan bulat tidak berlaku sifat tertutup, sifat komutatif dan sifatasosiatif.14. Perkalian berulang bilangan a sebanyak n kali atau n faktor dirumuskan dengan: = + ... kali ( faktor)naaaaannuu15. Jika a dan b bilangan cacah dengan bz 0, maka ab merupakan bilangan pecahan dengana disebut pembilang dan b disebut penyebut.16. Pecahan ab disebut pecahan murni bila a < b.17. Pecahan ab disebut pecahan tak murni bila a > b.18. Pecahan abc, dengan bilangan cacah dan bc pecahan murni disebut pecahan campurana = bcabccu.19. Pecahan , 0abbz, dapat diubah ke dalam bentuk paling sederhana dengan cara membagipembilang dan penyebut dengan FPB dari a dan b.20. Pcahan persen a% didefinisikan dengan a% = 100a21. Pecahan permil aooo didefinisikan dengan aooo = 1000a22. Pecahan , 0abbz dapat diubah ke dalam bentuk lain, yaitu:
Penunjang Belajar MATEMATIKA untuk SMP/MTs Kelas 762 = 100%aabbu (bentuk persen) = 1000aabbuooo (bentuk permil)23. Operasi hitung pada bilangan pecahan.a.Penjumlahan : + ac acbbb + ( ) + + bqbqap apcrcr§· ̈ ̧©¹b.Pengurangan :ac acbb b ( ) + + bqbqap apcrcr§· ̈ ̧©¹c.Perkalian:ac acbb bduu ud.Pembagian: : ac a dbb b c ue.Perpangkatan :sebanyak faktor = ... nnaaaaabbbbb§· §· §· §·§·uuuu ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧ ̈ ̧©¹ ©¹ ©¹ ©¹©¹: = nnnaabb§· ̈ ̧©¹24. Hasil perkalian atau hasil pembagian bilangan desimal dengan bilangan 10, 100, danperpangkatan 10 lainnya dapat ditentukan dengan cara menggeser tanda koma ke kananatau ke kiri sesuai dengan banyaknya angka nol.a, bcdu 100 =abc,dab, cd : 100= 0,abcd25. Bentuk baku (notasi ilmiah) dirumuskan dengan: au 10n, dengan 1 d a < 10, n bilanganbulat.
Bilangan Bulat63GLOSARIUMAkar kuadratSebuah bilangan (x) adalah bilangan yang bila dikalikan dengan dirinya sendiri menghasilkanbilangan (x). Misalnya 3 adalah akar kuadrat 9 karena 3 u 3 = 9. Ditulis 3 = 9.Akar pangkat tigaSebuah bilangan (x) adalah bilangan yang bila dikalikan dengan dirinya sendiri sebanyak 3kali menghasilkan bilangan (x).Misalnya 2 adalah akar pangkat 3 dari 8, karena 2 u 2 u 2 = 8 ditulis 238.Bilangan pokok (basis)Dari pernyataan an, a disebut bilangan pokok (basis) dan n disebut pangkat atau eksponen.Bilangan asliBilangan asli adalah 1, 2, 3, 4, 5, ...Bilangan bulatBilangan bulat adalah ... –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...Bilangan cacahBilangan cacah adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...Bilangan positifBilangan positif adalah bilangan yang lebih dari nol. Misalnya 1, 31, ,22 3, 4, semuanyabilangan positif.Bilangan negatifSemua bilangan yang kurang dari 0, misalnya –2, –32, –4,5 semua bilangan negatif.EksponenPada pernyataan an, a disebut bilangan pokok dan n disebut eksponen juga disebut pangkatatau derajat.Garis bilanganSebuah garis yang memasangkan setiap titik pada garis itu dengan suatu bilangan.Identitas penjumlahanBilangan nol (0) disebut identitas penjumlahan karena bilangan nol dijumlahkan denganbilangan a maka hasilnya tetap sama dengan a. a + 0 = 0 + a = a.Identitas perkalianBilangan 1 disebut identitas perkalian, karena setiap bilangan a dikalikan dengan 1, makahasilnya tetap sama, dinyatakan dengan a. au1 = 1 ua = a.Invers penjumlahanSuatu bilangan apabila dipindahkan dengan bilangan lain hasilnya sama dengan nol. Misalnya,–3 adalah invers dari 3 karena 3 + (–3) = 0. Inver penjumlahan disebut juga lawan suatubilangan.Invers perkalianSuatu bilangan apabila dikalikan dengan bilangan lain hasilnya 1. Misalnya 12 adalah invers
Penunjang Belajar MATEMATIKA untuk SMP/MTs Kelas 764dari 2, karena 2 u12 = 1. Invers perkalian disebut juga kebalikan suatu bilangan.PenjumlahanProses penambahan bilangan yang merupakan salah satu operasi dasar dalam aritmatika.PenguranganOperasi dasar aritmatika dengan mengambil suatu bilangan dari bilangan lain. Penguranganadalah operasi kebalikan dari penjumlahan.PerkalianOperasi penjumlahan berulang. Misalnya 3 u 2 = 2 + 2 + 2.PembagianOperasi kebalikan dari perkalian atau disebut juga sebagai pengurangan berulang.Sifat asosiatif penjumlahan(a + b) + c = a + (b + c)Sifat asosiatif perkalian(aub) uc = au (buc)Sifat distributifa (b + c) = aub + buca (b – c) = aub – bucSifat komutatif penjumlahana+ b = b + aSifat komutatif perkalianaub = buaSifat tertutupSuatu himpunan bilangan dikatakan mempunyai sifat tertutup terhadap suatu operasi tertentuapabila operasi terhadap anggota-anggota himpunan bilangan tersebut selalu menghasilkanbesar satu anggota dari himpunan itu. Misalnya operasi penjumlahan bilangan bulat bersifattertutup, karena penjumlahan bilangan bulat menghasilkan bilangan bulat juga.Bentuk baku (notasi ilmiah)Notasi yang digunakan untuk menuliskan bilangan-bilangan sangat besar atau sangat kecilsehingga bilangan itu mudah dibaca. Sebuah bilangan yang dinyatakan dengan bentuk bakuberikut.au 10n, 1 d 4 < 10 dan n bilangan bulat. Contoh:#bentuk baku dari 36.000.000.000 adalah 3,6 u 1010#bentuk baku dari 0,000000000056 adalah 5,6 u 10–11PecahanSuatu bilangan dalam bentuk ab, a disebut pembilang dan b disebut penyebut. Pecahan"tiga perempat" dinotasikan 34.PembilangBilangan bagian atas suatu pecahan. Sebagai contoh, pada pecahan 35, 3 disebut pembilang.PenyebutBilangan bian bawah suatu pecahan. Sebagai contoh pada pecahan 35, 5 disebut penyebut.
Bilangan Bulat65Pecahan murniPecahan yang pembilangnya kurang dari penyebutnya. Misalnya 1124, , , dan 5233.Pecahan murni lainnya selalu kurang dari 1.Pecahan tidak murniPecahan yang pembilangnya lebih dari penyebutnya, misalnya 359, , dan 248. Pecahantidak murni selalu lebih dari 1.Pecahan senilaiPecahan-pecahan yang mempunyai nilai yang sama, misalnya 3512, , , dan 24610.Pecahan campuranBilangan yang ditulis sebagai jumlah sebuah bilangan cacah dengan pecahan murni. Misalnya325 adalah pecahan campuran dengan penjumlahan dari 2 + 35.Pecahan desimalPecahan yang penyebutnya adalah perpangkatan dari bilangan 10. Misalnya532, , 10 100 1000,dan sebagainya.Pecahan persenCara menuliskan bilangan yang merupakan sebuah pecahan yang penyebutnya 100.Misalnya 5% dapat dituliskan dengan pecahan 5100.Pecahan permilCara menuliskan bilangan yang merupakan sebuah pecahan yang penyebutnya 1000.Misalnya 15ooo dapat dituliskan dalam bentuk pecahan 151000.PembulatanMenghilangkan angka pada suatu bilangan, tapi tetap menjaga agar nilainya mendekati.Hasilnya memang kurang akurat tetapi mudah untuk digunakan.
Penunjang Belajar MATEMATIKA untuk SMP/MTs Kelas 766LATIHAN PEMAHAMAN BAB 1I.Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat.1.Perubahan suhu dari –3oC menjadi –8oC dapat dikatakan sebagai ... .a.Penurunan suhu sebesar 5oCc.Kenaikan suhu sebesar 5oCb.Penurunan suhu sebesar 11oCd.Kenaikan suhu sebesar 11oC2.Urutan suhu di bawah ini yang merupakan urutan dari suhu besar ke suhu kecil adalah ....a. –8oC, –5oC, – 3oCc.30oC, 35oC, 20oCb.28oC, 24oC, 20oCd.–8oC, 5oC, 2oC3.Temperatur di siang hari di suatu tempat adalah 15oC. Pada malam hari turun menjadi18oC. Temperatur pada malam hari dapat juga ditulis ... .a. 18oCb.3oCc.–3oCd.–18oC4.Perhatikan pernyataan-pernyataan berikut:i.11 > 23iii.32 < 78ii.32 > 34iv.12 < 43Dari pernyataan-pernyataan di atas yang benar adalah ... .a.(i) dan (ii)c.(i) dan (iv)b.(ii) dan (iii)d.(iii) dan (iv)5.32 – (–2)5 – 2(–3)2 = ... .a .24b.32c .36d.466.Pecahan-pecahan berikut senilai dengan RUM, kecuali ... .a.616b.1224c.1540d.391047.Salah satu pecahan yang terletak antara 32 dan 95 adalah ... .a.85b.75c.65d.19108.Bentuk sederhana dari (32)4u (35)3 = ... .a. 323b.315c. 312d.3109.Hasil dari pembagian a8 : (a3ua3) = ... .a.ab.a2c.a3d.a510.p3q2r2 : (p3qur2) = ... .a.pb.qc.rd.2211. Apabila bilangan pecahan 342, , dan 534 diurutkan dengan urutan naik menjadi ... .
Bilangan Bulat67a.324, , 534c.324, , 543b.342, , 543d.324, , 53412. Bentuk 495 dapat diubah menjadi bentuk pecahan campuran, yaitu ... .a.485b.385c.495d.69513. Pecahan campuran 768 dapat diubah menjadi ....a.558b.478c.458d.42814. Bentuk desimal dari 4125 = ....a .0,06b.0,08c .0,024d.0,03215. Bentuk persen dari 58 adalah ....a .60,5%b.62,5%c .65,5%d.67,5%16. Bentuk 183% jika dinyatakan sebagai pecahan biasa menjadi ....a.325b.125c.112d.1517. Bentuk persen dari 0,125 adalah ....a.0,125%b.1,25%c.12,5%d.125%18.422 33 + 6 2 = ...535 7a.687b.387c. 8d. 919. 15% dari 387 juta adalah ....a .525.000b.450.000c .425.000d.375.00020. Jika luas persegi panjang adalah 1212 cm2 dan lebarnya 212 cm, maka panjangnya adalah....a. 312 cmb.334 cmc.345 cmd.4 cm21. Hasil dari 541 1 : 1544u adalah ....a.95b.1110c.920d.1120
Penunjang Belajar MATEMATIKA untuk SMP/MTs Kelas 76822. Nilai dari 53,65 – 43,823 = ....a .8,725b.8,827c .9,727d.9,82723. Nilai dari pembagian 30,708 : 0,45 adalah ....a .64,64b.64,42c .68,24d.78,2424. Bentuk baku dari 105.000.000 adalah ....a.105 u 106c.10,5 u 107b.1,05 u 108d.1,05 u 10625. Bentuk baku dari 0,00235643 menjadi dua tempat desimal adalah ....a.2,36 u 10–3c.2,35 u 10–3b.2,36 u 10–2d.2,35 u 10–2II. Kerjakanlah soal-soal berikut dengan jelas dan benar.1.Sederhanakan dalam bentuk pangkat!32542 5 125 32uuu2.Tentukan nilai dari 3 : 3 : 3 : 3 : 3 : 111 : : 333.3.Diketahui nilai a = 9 dan b = –2. Hitunglah nilai dari (2a – 4b)2!4.Jumlah dua bilangan bulat adalah –36. Jika bilangan yang satu 2 kali bilangan yang lainnya,tentukanlah masing-masing bilangan tersebut.5.Diketahui 312 = , = , dan = 634abcHitunglah nilai dari:a.a + bcc.b(c – a)b.b2 – cd.ba : c6.Pada penerimaan siswa baru di salah satu SMP, peminatnya 5.000 orang. Pendaftar yangmemenuhi syarat hanya 65%, kemudian dari calon siswa yang memenuhi syarat, yangditerima sebanyak 25 bagian. Hitunglah:a.banyaknya siswa yang memenuhi syarat.b.banyaknya siswa yang diterima.7.Diketahui a = 18, b = –6, dan c = –3. Hitunglah nilai dari (aub) : (b – c)!8.Hitunglah hasil akar kuadrat dari:a.57121b.1324969.Hitunglah akar pangkat tiga dari bilangan berikut:a.3216b.351210. Empat tahun yang lalu, umur seorang ayah sama dengan umur anaknya dikuadratkan. Jikaumur anaknya sekarang 10 tahun, berapakah umur ayahnya sekarang?